Soit l'équation dilïérentielle

dans laquelle X et Y désignent les polynômes du quatrième degré

X = a -h jSj; -h yj;^ H- oz' + sa;* } /y.^

Y == a -+- pj/ + Y?y- -h hf -\- tif )

5i2 CHAPITRE XL

Euler a montré le premier, en 1761, dans les Nouveaux commentaires de Pètershourg^ que l'équation (71) avait une intégrale algébrique exprimée par une équation de la forme

\.-v\\{x-^y)^^{x'^xf)-\-'^xij-\-^xxj{X'V]j)^V.x''-\f- = ^. (73)

Six ans plus tard, dans les Mémoires de V Académie de Turin, Lagrange disait à propos de cette découverte : « Cette « intégration est d'autant plus remarquable qu'elle n'est due « qu'à une espèce de hasard heureux. J'ai donc cru faire un « travail avantageux au progrès de l'analyse que de chercher (( une méthode directe pour intégrer l'équation (71).

Voici la méthode de Lagrange :

Posons

-— - = dt, el par suite, -!= = — dt. (74)

i étant une variable indépendante dont x et y seront des fonctions-.

En élevant au carré, on a

dœy Y ('^UY

dï) "^' [dt

d'où l'on déduit, en différentiant par rapport à /,

fj dx d^x dX dx

dï df- dx dt

„ dy d^y dX dy

"^ dt dî^ dy dt

d T* du ou, suppression faite des facteurs communs ^^^ -^^-

2 - T-ô = -7— = 3 + 2 Y .2^ 4- û 0 js- -H- 4 £ a;-* dt^ dx ' '

Si donc on pose

u = X ^ ij V = X — y, (77)

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU TRIMIER ORDRE 513

on aura

d^ti (Px d^ij W' ~ IC" "^ 'dit}

=: p + Yt^ -{- ^ 0 {iC- -h v"-) -\- ^zii {it} -+- 3 v^) y

et

du dv Idx di/\ (dx di/\ fd-vY- /di/ dJ. Ht ~ \dt "^ di) \cU ~ "dij ~ \di) ~ \di

In 1

= X — Y = ^v -H ^{uv + r OU (3?i- + V') 4- V £w?; (ti^ + v"^

On déduit de là, en retranchant la relation (79) de l'équation (78) préalablement multipliée par v

dHi du dv 1 ^ , n

'dT^-^t dt =-- 2 '' -^ ''''

d'où, en multipliant par -^^ -^

2 r (lu dhi /duV dv'] ,. ^ û^l'' dtdÏÏ- [dt) dt] = ^' + ^'

. du

^') dt

Mais les deux membres de cette équation sont respective-

1 /dicV ment les dérivées par rapport à ^ de — , (-^ j et de ou -+- s.u^.

On a donc, en désignant par C une constante arbitraire, 1 /du'

■) \ ;w — C ^ OU 4- zir, V \ dt/

dit etenfm, en substituant à u, v, -,- leurs valeurs en x et y,