VX— V/'Y'1''

c'est l'intégrale de l'équation (71).

Cette intégrale n'est pas rationnelle, toutefois il est aisé de la rendre telle.

Le calcul est un peu long, mais il ne présente aucune diffi-

Galcïïl infinitésimal 33

culte. La marche consiste à effectuer le premier membre, à isoler le seul radical \/XY qui reste alors, puis à élever au carré. On trouve ainsi, pour l'intégrale rendue rationnelle, l'équation (73) dans laquelle les coefficients L, M, N, P, Q, R ont pour valeurs

M = — -2 G P — ocS + I Py

N = ^^ G^ - ^ Gy - as -h ^ f

P = — 5 C^ — 2 as — .5 po + ^ Y^

Q - - ^ C5 - ps + ^ yS R := Ce M- ^ Ô2

Il importe de remarquer que si, dans l'équation proposée (71), on remplaçait le signe -+- par le signe — , tout ce que nous avons dit subsisterait, et l'intégrale serait la relation (80) où l'on changerait le signe du radical \/Y. Quant à l'intégrale rendue rationnelle (73), elle ne changerait pas.

396. Nous devons signaler spécialement deux cas partie culiers usuels :

1« Soient

l'intégrale de (71) sera

2« Soient

Y == (1 — 1/) (1 — li^ 1/) y

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PRExMlER ORDRE blg

/i;2 étant une quantité positive et moindre que l ; l'intégrale de (71) deviendra

//X — \/Y\ ^C-hkUx-^yY (85)

397. L'intégrale précédente (85) peut se mettre sous une autre forme que nous allons établir directement.

L'équation différentielle (71), où X et Y ont les valeurs (84), peut s'écrire

^ ,/Ydcc I' ^Xdy ^, ^gg^

C étant une constante arbitraire.

En intégrant par parties la première intégrale, on a

\/Y dx Xs/Y__ /P«^ OJYdx

v-ie-x^f ~~ r=^^ ^' y' ~~J \/Y / ^

P et Q étant symétriques par rapport h. x eiy.

D'ailleurs la seconde intégrale de l'équation (86) doit se déduire de la première en échangeant les variables x eiy, on a donc

C y/X dy yy/x f^dx Tq ,^ .

En ajoutant les deux relations précédentes, on obtient l'équation

^T&lf-/(^-Q^-)(i-7l) = c'

qui, en vertu de l'équation différentielle proposée, se réduit à

C'est la forme de l'intégrale que nous voulions faire connaître.

La constante C' est la valeur que prend y pour ^ = 0. Posons actuellement

d'où

ce = SOI u, \J\ — x^ = en u, s/\ ~~ k^ x^ = dn u, et de même

d'où

y = S7Z V, \/] — if = en V, v/r — k^^- = dnv.

Nous aurons, en vertu de l'équation différentielle proposée,

dic -+- dv = 0 d'où

Y étant une constante. Mais, pour u = o, on a x ■■= o, u = y, y = sn^;lai constante G' de l'intégrale (87) est donc sn^{, et cette équation (87) devient

, . smi. cnv dîi v + snv. cnu dn u ,qo\

sn^l ou s« {u + u) = ■ — f— — pTT T^TT v; \p°)

' ^ ^ 1 — k^ [snu)- {snvy

C'est la formule fondamentale de la théorie des fonctions elliptiques de Jacobi.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE 317

On obtient d'ailleurs facilement, à l'aide des relations précédentes, les deux autres formules d'addition

, . cnu en V — sn u sn v dn u dtiv /„,,.

en {u + V) — -. T-rpT TT-7 x2 • (89)

^ ■' 1 — k- [sn uy {sn vy ^ '

, , . dmi dn v — k"- sn u sn v en u en v ,^^,

dn (u -I- v) = -. Tir-, vw \^ (yU)

^ ^ l — k' {snuY {snv)- ^ ^

398. Si, dans les valeurs (84) de X et de Y, on pose 00 = sin o, y =r. sin w l'équation différentielle

dx dy ^

deviendra

\/l — F sin^ cp v^l — A;2 sin^

On peut l'intégrer en la ramenant à la forme de l'équation de Clairaut.

A cet effet, on commence par rendre l'équation rationnelle ce qui donne

c^c!>2 — c/a)2 1= k^ (sin^w c?cp2 — sin^tf o^co^j.

Puis, on fait le changement de variables

I = cos o:> cos cf 7) := sin co sin cp, (92)

à l'aide duquel on peut exprimer

dl^ — dr^^ et {^dri — r^dif — dq^

en fonction de œ et de cp ; on constate ainsi que le rapport de ces deux expressions est égal à k^. De là résulte l'équation

bl8 CHAPITRE XI

OU, en posant 1 — A;^ = k'-, et désignant -— par p,

C'est, comme nous l'avions annoncé, une équation de Clairaut. On sait (n° 394) que son intégrale générale s'obtient en remplaçant^ par une constante. En désignant celte constante par

v/1 — ii- sinV

et remplaçant \ et •/) par leurs valeurs (92), on obtient pour l'intégrale générale de l'équation (91) la relation

cos ]x r= cos 0) cos cf — siiî w sin cp y'i — /e- sin-iJt. (93)

où [j. est la constante arbitraire.

Il serait facile de déduire de là les formules (88), (89), (90) relatives à l'addition des fonctions elliptiques sn, en, dn.

Théorie du facteur intégrant

399. Soient M et N deux fonctions des variables indépendantes X Qiy

Pour que l'expression

M.dx -\- Ndij (94)

soit une différentielle exacte, il faut et il suffit (n° 103) que l'on ait

ôM ôN .Q„.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE 519

et, si cette condition est satisfaite, la fonction u, dont l'expression (94) est la différentielle totale, est donnée par la formule

^\dx -t- / ^^dij -+- G 2/0 *^2/o

dans laquelle C est la constante arbitraire, ^o, ?/„ les valeurs initiales de x et y, et enfin Nq la valeur que prend N quand on y remplace x par x^.

Ordinairement, la condition (94) n'est pas remplie, et l'on est alors conduit à chercher, avec Euler, s'il existe un facteur V, fonction de x et de y, propre à rendre v {}\dx h- ^dij) différentielle exacte. Telle est la question dont nous allons nous occuper.

400. Théorème. — 1° // existe toujours un facteur v, fonction d'x et d'y, 'propre à rendre différentielle exacte le premier membre de toute équation du premier ordre Mc/a' -f- ^dy = 0.

2° // en existe même une infinité, et tous sont de la forme v'f(;u), u étant la fonction dont v{M.dx -h ^dy) est la différentielle exacte.

En effet :

1" Imaginons que l'intégrale générale de Téquation différentielle

Mdcc -j- NWî/ = 0 (94)

soit résolue par rapport à la constante c, c'est-à-dire soit mise sous la forme

u étant une fonction iïx et à'y où n'entre plus c. Cette résolution est toujours possible théoriquement . Alors c se trouve éliminé ^diV la différentiation de (96) et la relation

'du , ôM , „ du 'dX

— dx -\ rty r= 0 ou ~r- = — r-

hx ôa? -^ dx hit

hy est identique avec l'équation différentielle proposée ^ = — p^.

On a donc identiquement

Mt Me

Soit V la fonction dx et d'y qui exprime la valeur commune de ces rapports ; on aura

— = Mu, — = Nu d ou V (mdx -\- Ndii) r= — dx -\ du,

bec by ^ •" ^x b\j •^'

= du

ce qui démontre la première partie du théorème.

2° Si V est un facteur tel que v (Mcte + Nc?î/) = du, on aura, cp iu) désignant une fonction quelconque de u,

vo [u) [Mdx -v- Ndy) = o (w) du = d. j o {ii) du

donc i^'f (m) est encore un facteur d'intégrabilité, ce qui montre qu'il en existe une infinité.

Il reste à prouver qu'il n'en existe pas d'une autre forme. Or, soit Y un facteur quelconque d'inlégrabilite' autre que v, on aura

V (M (te + ^dij) = du, V [Mdx + 'Ndy) == d\J

d'où

dU = ~du (97)

Celte équation montre que, si l'on fait varier x et y de telle sorte que u reste constant, c'est-à-dire qu'on ait du = 0, on aura en même temps dU = 0 et par suite U restera constant. Il résulte de là que U est une fonction de u ; car, soit

u = f[œ,])), \]^^{x,ij)'.

en portant dans la seconde y tiré de la première, on aura

Or, si X restait aussi explicitement dans l'expression de U, en faisant varier ^ et y de façon que u reste constant, U ne reste-

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE 521

rait pas constant. Donc x n'entre pas explicitement dans F, et l'on a U = F {li). Par suite, en vertu de (97), on a