Corollaires

1° Si Von sait trouver d une manière quelconque un facteur

V d'intégrabilité, on obtiendra l'intégrale générale de r équation

différentielle v {Mdx + ^dy) = 0 par le procédé du n° 399.

De plus, en égalant à zéro l'inverse - du facteur, on aura Vintégrale singulière.

En effet, l'équation

V Qildx 4- Ne??/) r= du

mise sous la forme

lAdx -+- ^dy = - . du,

montre que, pour que l'équation différentielle soit satisfaite, c'est-à-dire pour qu'on ait Udx h- N<i// = 0, il faut et il suffit qu'on ait

soit du = 0 d'où u =:^ c ce qui donne l'intégrale générale,

soit ~ = 0, ce qui donne donc l'intégrale singulière.

Ce dernier résultat peut d'ailleurs être déduit de la théorie des solutions singulières (n° 369). En effet, u — C = 0 étant ici l'intégrale générale, toutes les solutions singulières seront données par l'équation

dx dy

à laquelle se réduit alors l'équation (8), Mais -r- n'est autre

que le facteur v qui rend l'équation dy — f{x, y) différentielle

{ exacte (n° 400). Donc l'équation ^ = 0 contient toutes les solutions sino:ulières.

2° Si Von a trouvé par un moyen quelconque deux facteurs V et N (Tinté grabilité, on aura immédiatement V intégrale gé~ nérale en égalant leur rapport à une constante.

Car, on a vu que, si w = c est l'intégrale générale^ on a

- = C3 (u) ; et de C5 (ti) = c, on tire u = G.

403. La détermination du facteur v dépend de f intégration d'une équation aux dérivées partielles.

En effet, on doit avoir

ô. vM. ô. uN

dy ' dx

d'où, en développant

N^iL-M^-^-.f^^-'-^Wo, (98)

'd.x ôz/ \^y i>œ J ^ ^

ce qui est bien une équation entre une fonction v inconnue

des deux variables x et y, et les dérivées partielles —, —, de

cette fonction.

On verra (dans l'étude des équations aux dérivées partielles) que son intégration générale dépend précisément de V intégration de Vèquation proposée. Il y aurait donc là un cercle vicieux. Mais il faut observer qu'il n'est pas besoin de trouver la solution générale de cette équation ; toute solution particulière de l'équation (98) est un facteur d'intégrabilité de la proposée. Malgré celte remarque, la théorie du facteur v n'a guère qu'une importance théorique.

Nous allons maintenant chercher la condition que doit remplir une équation du premier ordre pour admettre un facteur d'intégrabilité de forme spéciale.

403. Cherchons la condition pour que Véciuation du premier ordre

dy — f [x, y) dx = 0

admette un facteur d'intégrabilité qui ne dépende que de xseul.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE

Ici on a N = i, M = — f{x, y), ^ = 0 ; l'équation (98) se réduit donc à

ô^ cl?/

OU

1 OU i^fi^'", y)

V ôiT ^y

et comme le premier membre est fonction d'^ seul, il faut qu'il en soit de même du second, c'est-à-dire qu'on ait, en désignant par P une fonction d'x,

d'où

-r{^,y)= / ^dy=Pij-Q

Q étant aussi une fonction d'.:^: seul. L'équation proposée devient donc

Quant au facteur, on a

1 dv

V dx

et enfin

d'où loff V =r

JPdcc

Pdx,

Amsi, pow qu'une équation du premier ordre admette tin facteur dHntègrabilitè fonction d'x seul, il faut que cette équation soit linéaire; et cela suffit, car il est aisé de constater que

est une différentielle exacte ; on peut, en effet, l'écrire

e/P^^ cirj -I- y? ef^^"" dx - /^^^

Q,dx

d[yef^'-] - ef'''- Qdo

et enfin

JP^^ / ^/^«^

Qdx

De là résulte un nouveau moyen d'intégrer l'équation linéaire du premier ordre ; en effet, l'équation étant mise sous la forme

on a immédiatement

fPdx / fPdx

Qdx

ye-

(^dx -■= G,

d'où résulte la formule connue (n° 377)

.fPdx

Qe-^ ' ^ dx