Cherchons quel est le fadeur cT mtégrabilité pour les
équations Udx h- Ne??/ = 0 homogènes.
Si l'on pose ^ = t, l'équation proposée
devient
\:\ (0 + i^i (01 ^^^ + ^^i (0 ^^ = 0' et, l'on voit que, pour séparer les variables, il faut diviser par
X i^ (t) + ^'^j (01 ou x'i^ {t) -H i/<Li (t), ou Ma? -h Ny.
Le facteur est donc
M^ -\-Ny
On peut d'ailleurs vérifier que si M et N sont des fonctions homogènes de même degré m, l'expression
~Mx H- Nî/""
EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREiMIER ORDRE 525
est une différentielle exacte.
En effet, la condition
développée, se réduit à
\ ^X ^y j \ 'dX "^ mj J^
ce qui a lieu, puisque, en vertu du théorème des fonctions homogènes, la première parenthèse est égale à mM, et la deuxième
à mi\.
405. Voici encore un exemple très intéressant de la recherche du facteur intégrant.
Soit l'équation
{aydx H- hxdy) -h x''y [a'ydx 4- h'xdy) = 0 (100)
Le facteur — rend intégrable la première partie qui devient
la différentielle de log (x^y''). Les facteurs intégrants de la première parenthèse sont donc compris dans la formule
— o(x"ii'') xy '^ •' '
De mème, le facteur ^ , „ ^ i rend intégrable la partie X y
x'^Hf {a'ydx -t- h'xdy) qui devient la différentielle de log [x^'y^') ;
les facteurs intégrants de cette seconde partie sont donc
compris dans la formule
~~ — -.-, Mx"' y''')
S'il existe un facteur intégrant commun aux deux parties, ce sera un facteur intégrant de leur somme, c'est-à-dire du premier membre de l'équation proposée (100), Or, prenons respectivement
{x'^y^)^, [oC^'i/Y
au lieu de ç» et de tj; ; les deux facteurs intégrants
2^~ - (^"^'') et ^m+ l yn + ï (^""y'^y
seront identiques à condition de choisir X et [x tels qu'on ait les relations
«X = a'fj. — m, bl = b'y. — n.
Nous aurons donc de la sorte un facteur intégrant du premier membre de l'équation (100).
Les deux dernières relations, en X et ix, sont incompatibles si le déterminant ab' — ba' est nul ; mais alors l'équation proposée devient une équation à variables séparées et^ par suite, s'intègre immédiatement.
406. La considération du facteur intégrant intervient utilement dans la théorie des cartes géographiques.
Nous avons dit (tome l*"", n° 540) qu'il était toujours possible de représenter une surface donnée sur un plan en conservant les angles.
Pour démontrer cette proposition fondamentale, il s'agit de faire voir qu'il est toujours possible de résoudre l'équation (tome I^ n° 537)
Edu^' + 2 Ydudv + Grfu^ = X^ {dX.^ -h dX^)
dans laquelle E, F, G sont des fonctions connues de u et de v, tandis que X, X, Y sont des fonctions inconnues des mêmes variables.
L'équation précédente peut s'écrire
1 V^du + ¥dv 4- idv /eG — F^ ¥.du + ¥dv — idv /eG — FM
= IdX -^ idX] [dy. — idX]
Désignons par m -h ni un facteur intégrant de la première parenthèse, m et n étant réels. Nous aurons
, /Eclu 4- Vdv + idv ^EG — F^ (?n -h ni) I T= ) = c?X + 2riY,
[m — 7ii) ( -=z — \ = dX — idY,
«t enfin, en multipliant les deux relations précédentes membre à membre
dX' + d\^ = (m^ -h n^) [Edic'' -+- 2 Fdudv 4- Gc^u^)^ Les fonctions X et Y sont donc trouvées ainsi que la fonction
La possibilité de la réduction considérée est ainsi établie.
407. Nous terminerons ce chapitre par quelques applications géométriques; nous supposerons d'ailleurs que les axes de coordonnées sont rectangulaires et que dans les n°^ 408 à 418, les courbes considérées sont planes.
Problèmes relalîfs aux tangentes et aux normales
408. Trouver une courbe telle^ que la distance de l'origine à ses tangentes ait une valeur constante a.
L'équation différentielle de la courbe cherchée est évidemment
dy
ij — x
dyV'
En la résolvant par rapport k g, on a
dij
c'est une équation de Clairaut (n° 394). L'intégrale générale est
r/ = Cx -t- a v^l -h (?' ;
C étant une constante arbitraire ; elle représente une infinité de droites, et la solution singulière
représente une circonférence à laquelle toutes ces droites sont tangentes.
409. Trouver une courbe telle que le produit des distances de deux points fixes F et F' à la tangente ait une valeur donnée b^.
Prenons pour axe des x la droite FF' et pour axe des ?/ la perpendiculaire à FF' menée par son milieu 0 ; désignons
en outre OF par c, et -f-, par p, nous aurons pour équation différentielle de la courbe
y — px + pc yjziJELir V^ j2
d'où l'on tire, en posant h^ h- c^ = a^,
y = px -+- \la^ p^ -h h-
c'est encore une équation de Clairaut.
L'intégrale générale est donc
y T= mx + ^a^ tnr -\- b^
m étant une constante arbitraire ; elle représente une infinité de droites, et la solution singulière représente une ellipse
a- bà laquelle toutes ces droites sont tangentes.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE 529
410. On est aussi amené à une équation de Clairaut par la question suivante : trouver une courbe telle que la portion de tangente comprise dans V angle XOY ait une longueur donnée a. En désignant toujours par p le coefficient angulaire -j- , on a, pour l'équalion différentielle de la courbe,
/ 0/ TJ'TjX^
d'où l'on déduit
ap
y ■= px -H
L'intégrale générale
aC
y r=z Cas ^
Vi -^c^
représente une infinité de droites, et la solution singulière représente une courbe
à laquelle toutes ces droites sont tangentes. Cette courbe (voir les Traités dé Géométrie Analytique) est une épicycloïde décrite par un point d'une circonférence roulant dans un cercle de rayon quadruple.
411. Trouver une courbe telle que l'ordonnée à V origine de la tangente soit égale à K,z;™z/".
On a immédiatement
dx ou
dx X ^
C'est une équation de Bernouilli (n" 379J.
Calcul infinitésimal 34
En posant i/—'^ = ^, on ramène cette équation à la forme linéaire
~ — ^-^^^ ^ -+- K (1 — n) X-'-' = 0, dx X ^ '
d'où, en intégrant (n° 377),
C — K (1 — n) / X^n-rn-1 ^l^ \
Il y a deux cas à distinguer suivant que m, -\- n — 1 est nul où différent de zéro.
Lorsque m h- n — 1 est nul, l'intégrale qui figure dans le crochet estlog^', et l'intégrale générale de l'équation proposée est
lyi - » = a;' -" [G — K (l — n) log »•].
C désignant une constante arbitraire.
Si m -H n — 1 est différent de zéro, l'intégrale entre crochets a pour valeur
'in-\-n — 1 et, par suite, l'intégrale générale de l'équation proposée est
•^ tn -i- 71 — 1
Signalons deux cas particuliers intéressants : Pour m = 0 et n =: 2, on a des hyperboles ; et, pour m = 0 et w = — 1 on a des ellipses ou des hyperboles.
41!S. Trouver une courbe pour laquelle la longueur de la normale est une fonction donnée de la distance de l'origine au point où la normale rencontre Taxe ox.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE
L'équation différentielle est
Elle s'intègre par différentiation (n° 393).
En effet, en différentiant on a, après quelques réductions,
vj
dx]
dx
^ dx]
De là deux solutions
d f dy
dx \ -^ dx
dy
dx
\/'-(ir
La première donne
dii
:io4)
a désignant une constante arbitraire, et on obtient l'intégrale
clu générale de l'équation proposée (101), en éliminant -r- entre
(101) et (104); on trouve de la sorte
qui représente une suite de cercles ayant leurs centres sur l'axe ox.
La solution singulière résultera de l'élimination de a entre l'équation précédente et sa dérivée par rapport à a ; par
exemple, pour f{x) = \/2mx, on aura y^=z^2mx -+- m'^ qui représente une parabole.
Problème des irajectoires
418. En géométrie pure, on nomme trajectoire la courbe (L) qui coupe sous un angle constant V toutes les lignes (C), (C), (C"), .... que représente l'équation
Y(^x,ij,a) = 0 (105)
lorsqu'on fait varier le paramètre a d'une manière continue.
La recherche de la courbe (L) a beaucoup occupé les géomètres et notamment les Bernoulli, dès l'origine du Calcul Intégral.
Soit M {x,y) le point où la trajectoire (L) coupe l'une quelconque (G) des lignes (C), (C), (G"), Désignons tgVpar K
et appelons respectivement X et y les coefficients angulaires au point M des tangentes à (L) et à (C). Nous aurons
Mais >^ est la valeur de ^ pour la courbe (L) tandis que y est la
valeur de cette dérivée pour la courbe (G) c'est-à-dire est égal à
La relation (106) devient donc
d^ /^ ôF\
dx \^x ' ^y j
ou
/ôF ,. ôF\ dij /ôF ôF\
\by àxj dx \ùx î)y J ' ^ ^
et l'on aura l'équation différentielle de la trajectoire en éliminant le paramètre a entre (103) et (107) ou (108).
EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE o33
414. La solution se simplifie lorsque l'angle V est droit; la trajectoire est alors dite orthogonale, et son équation différentielle s'obtient en éliminant le paramètre a entre la relation (iOo) et l'équation
415. Gomme application, cherchons la trajectoire des lignes représentées par V équation
En suivant la marche indiquée au n° 113, on obtient pour l'équation différentielle de la trajectoire une équation homogène qu'on traitera par le procédé du n° 373.
Ce calcul et le résultat auquel il amène n'offrent aucun intérêt, sauf dans le cas où ?2 =/? = 1. 11 s'agit alors de trouver la trajectoire du système des droites z/ = «5: passant par l'origine.
L'équation (108) est ici
\ ax] dx
et, en éliminant a entre les deux dernières équations, on a
K {xdœ -t- ydy) = [xdy — ydx).
Cette équation différentielle, s'intègre immédiatement ; car on reconnaît, après avoir divisé les deux membres par x^ +y'^ , que les parenthèses sont respectivement les différentielles de
log y x^ -f- y- et de arc tang ~
L'intéi2rrale est donc
K log \l x'^ -j- y2 - a,.g lang M + C,
C étant une constante arbitraire.
En passant aux coordonnées polaires, on a
K loff r = w H- G
OU
C étant une nouvelle constante. Les trajectoires sont donc des spirales logarithmiques ayant l'origine pour point asympto tique.
