TO

dx

Mais il est plus commode, pour ce qui suit, de prendre pour paramètre variable l'inverse K de m changé de signe, c'est-àdire de poser

L'équation générale des tangentes (110) prend alors la forme

^ = Ky -H cp (K). (111)

et l'équation (109) devient

dx '

K s'élimine immédiatement entre les deux dernières équations, et l'on a pour l'équation différentielle des trajectoires

C'est une équation de Lagrange. On sait (n" 392) comment on l'intègre en la ramenant à la forme linéaire. Nous ne développerons pas ce calcul qui n'estnidifflcileni élégant, et nous nous bornerons à donner le résultat de cette intégration. En posant

î|) = np) e, y^., = e(,)

On obtient les coordonnées

d'un point quelconque de la trajectoire exprimées en fonction d'un paramètre p.

418. Considérons en particulier le cas de la développante de cercle

L'équation de la tangente au cercle

en fonction du coefficient angulaire est

y = mx + R V 1 + in-,

et il faudra éliminer le paramètre m entre cette équation et la relation (109) qui se réduit ici à

fn^ -1-1=0.

dx

L'équation différentielle de la développante est donc

{xdx + ydijf -f- R^ {dx^ + dtf) = 0

ou, en passant aux coordonnées polaires p et œ,

p2. dp- -f- R2 [df -H p2c^a)2j = 0 ; on lire de là

riw = — jr dp

et, en intégrant,

-i- G = — n v/p" — R^ -\- arc sin - R p

Lignes de courbure

419. Les projections, sur le plan desa^y, des lignes de courbure d'une surface ont pour équation différentielle (tome 1, n" 488)

pqr

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE 537

OÙ p, q, r, S, t désignent respectivement, suivant l'usage, les dérivées partielles

qui sont des fonctions données de x et de y.

On ne sait intégrer cette équation que dans des cas particuliers. Nous ne considérerons ici que les lignes de courbure du paraboloïde elliptique et de l'ellipsoïde; nous avons d'ailleurs obtenu par une autre voie (tome 1, n° 495) celles de l'ellipsoïde.