Soit

l'équation du paraboloïde elliptique. On a

et l'équation (113) devient

en posant

|=A et a{a — h) = B. (116)

En faisant

x^ = X, if= Y, puis résolvant par rapport à Y, on donne à l'équation la forme

C'est une équation de Clairaut. On obtient l'intégrale générale

(n° 394) ei qui donne

n° 394) en remplaçant -ry- par une constante arbitraire G, ce

^ = CX-j4^g (118)

r)38 CHAPITRE XI

OU, en revenant aux anciennes variables,

Tir

et enfin, en remplaçant A et B par leurs valeurs (U6),

^ 6 H- aC ^ ^

Les projections des lignes de courbure sont donc des ellipses ou des hyperboles suivant que la constante arbitraire C est négative ou positive.

4^1. Soit maintenant

l'équation de l'ellipsoïde. On a ■ .

et l'équation (113) devient la même équation (115) que pour le paraboloïde ; la seule différence est relative aux valeurs de A et de B qui sont ici

__ g^- [h^ — c"-) R «L(«Lzi^ (\o<)\

En portant ces valeurs dans (119) on aura l'équation des projections des lignes de courbure de l'ellipsoïde sur le plan des xy.

On voit aisément que ces projections sont : 1° pour l'un des systèmes, des ellipses

u et V désignant les coordonnées d'un point de l'hyperbole

ai 62 — c2

2° pour l'autre système,, des hyperboles ^ 2/J — 1 u et V désignant les coordonnées d'un point de l'ellipse

Ajoutons encore qu'en projection sur le plan du grand axe et du petit axe les lignes de courbure des deux systèmes sont des ellipses.

Lignes asymi^to tiques

432. Les projections sur le plan des xy des lignes asymptotiques d'une surface :; = f{x, ij) ont pour équation différentielle (tome T, n° 309)

rdx'' + 2sdxdy -+- tdif = 0. (123)

Cette équation ne peut être intégrée que dans des cas particuliers dont nous allons donner des exemples.