Soit a une racine multiple d'ordre a de ç(a
o(.v) = {x — ay^^{x),
on démontre en Algèbre que, f,V etY étant trois polynômes
f premiers entre eux deux à deux, la fraction xjy peut se mettre,
par de simples divisions, sous la forme
X — A , Ei. (21)
UV"U^V' ^ ^
de plus, si le degré de /' est inférieur au degré du produit IIV, f\ sera de degré inférieur au degré de U et premier avec U; Fj"de degré inférieur au degré de V et premier avec V. Il en
DES INTEGRALES INDEFINIES 27
résulte qu'en tenant compte de la valeur de o{x) on pourra écrire
La dernière fraction pourra être décomposée de même, de sorte que la fraction proposée pourra s'écrire
îe signe 2, s'étend à toutes les racines a de /(-?')' ^^ /i('^) ^^^ un polynôme de degré a — 1.
Maintenant la formule de ïaylor donne
[^{x) = f,{a + œ— a) = f,{a) A- [x — a)f,'{a) h- ^^~^^ fila) + . . . ^ (a — 1) ! /i ^ ^ -^'
et par suite
Dans cette égalité quelques-uns des numérateurs peuvent être nuls, mais le premier est nécessairement différent de zéro, parce que f\{.r) est premier avec (,r — af en vertu des hypothèses faites.
Finalement la fraction est une somme de fractions du type ^ {/g — a)p ^^ ^^^ intégration est immédiate ; on aura
^ dx = y -Al L^ + y A, log {œ - a). (24)
Dans l'égalité (24) , le signe ^ doit s'étendre, pour une racine
p a, à toutes les valeurs de l'exposant p de 2 à a, et aussi à toutes
les racines a de ^[x) ; le second signe \^ s'étend aux racines a.
34. Le nombre A^ s'appelle le résidu de la fraction relatif au point a.
Dans le cas où toutes les racines de o[x) sont simples, ce résidu peut se mettre sous une forme remarquable qu'il est utile de connaître. On a en effet :
m J^.yj^^... (23)
Multiplions les deux membres par 5? — a ei écrivons ainsi
^\x) — ci(a) 1 ' V ' \CG — h J
Si X tend vers a, l'égalité devient
c'est la valeur du résidu.
En reportant cette valeur dans l'égalité (25) et chassant les dénominateurs, on obtient une formule
f(rr\ — /M ?(-^) ^ Œt ?(^) + (27)
connue sous le nom de formule d'inter-polalion de Lagrange. Elle permet d'écrire un polynôme de degié m — \, connaissant les m valeurs numériques /(«), f[b)... prises par ce polynôme lorsqu'on donne à la variable x les m valeurs arbitraires a, b,,.. En effet l'on a
tji{x) = [x — a) (x — b)...
et les quotients Jfi^ , "^ . . . sont des polynômes entiers
ic — a X entièrement connus ;
cp'(a) = (rt — h) {a — c) ,
Signalons encore une formule importante relative au cas où le degré du numérateur fia^ de la fraction est inférieur de deux unités au moins au degré m du dénominateur. Il faut alors, dans l'identité (27) que le coefficient de ^'""^ soit nul, ce qui entraine la formule cherchée
^Â cp'(aj ^ '
Donc, si le degré du numérateur d'une fraction est inférieur de deux unités au degré du dénominateur , la somme des résidus relatifs aux pôles de cette fraction est nulle. (On appelle pôles d'une fonction, dans la représentation géométrique des valeurs de la variable (I. n° 258), les points pour lesquels la fonction devient infinie).
35. Dans les développements qui précèdent, nous n'avons pas distingué les racines réelles des racines imaginaires. En se reportant à la formule (24), on voit que l'on n'éprouvera de difficultés que dans les termes logarithmiques ; pour les autres en effet ils seront, ou réels, ou imaginaires conjugués deux à deux et la somme de deux imaginaires conjuguées se met facilement sous forme réelle. A la vérité, si a est une imaginaire de la forme a -i- ^i, on a vu (tome I n° 269) que
log (oG — «) = S) log' y{x — a)'^ + p-J H- i arc tang ■ — ~ — ;
et, comme à l'imaginaire conjuguée a — pi correspondra le coefficient imaginaire conjugué de A^, les deux termes correspondants dans (24) auront encore une somme qu'on débarrassera facilement des imaginaires.
30 CHAPITRE l
Mais cette manière de procéder estl'ong-ue et pénible. 11 vaut mieux ne pas introduire les imaginaires.
Soit donc ^'^ -\-px-\- q un diviseur du second degré de o(^), correspondant à deux racines imaginaires conjuguées et soit?î son degré de multiplicité ; on aura
o{cc) = (r/;- -\- px -+- g')"4^0r),
et (formule 21)
f{x) ^ fM) , Fi(^)
ff^x) {x- H- px -h q)'^ ''h{x) '
/■j(.2) étant un polynôme de degré 2n — 1 au plus et premier avec x^ -\- 'px -\- q. Divisons /i(^) par xr' -Ç px -v- q\ nous aurons un quotient f^^jc) et un reste du premier degré Mx -f- N^ c'est-à-dire que l'on pourra écrire
[x'' -h px -H q)" (.x^ -h 2^^ -h 2")""^ (a^^ -[- px -\' qY'
On aura de même
n'^) ^ /;(.^) I Mt^ + N,
(;%;- -h px H- 9")""^ (o,'^ -t- jJ.i; -H 9')"'" ('3^"^ -H 23-^ -[- g)"-^'
etc. On voit ainsi que la Iraction proposée conduira à des fractions simples de deux types distincts, et qu'on pourra, a désignant maintenant une racine réelle quelconque^ remplacer l'égalité (22) par la suivante
A^) ^ V A, V Ma; + N '
^[x) ^^^ (x — ay ^^ Uc- -H px -h qy ' • ^" /
Nous avons appris à intégrer les fractions du premier type; restent les dernières. On peut écrire
AT V I (2'^' ^p)-i-N — ~Mp ^
(x'^ -+- px H- qy (.x-- H- 2^x -H qy '
d'où
DES INTEGRALES liNDEFlNlES
Mx H- N M I 2co -h p ,
— ' ci.'
[x- -+- px + qy 2 I (a?- -h pcc H- qy
^ 2 -^ ^ j ipc'^ -V- px H- qy '
La première intégrale a pour valeur , ^ ^j /.^.. -,^, y i ;
nous n'avons donc plus qu'à envisager l'iatégrale
dx
I [X- H- px -^ qy
Comme
,.2 , .,-.. , „ /., , PV , .. P~
X' -i- px -i- q = Ix -}--'xjj -+- q —
on est amené à effectuer le changement de variables réel suivant
grâce auquel I devient
Nous avons donné (formules 19 et 20) le moyen d'effectuer l'intégration précédente. Le problème est donc entièrement résolu.
Une remarque sera utile pour les applications : les coefficients qui figurent dans l'identité (29) ne peuvent recevoir chacun qu'une valeur bien déterminée. On sera donc maître de la marche à suivre pour les déterminer ; en particulier on pourra les obtenir par une simple identification du second membre avec le premier.
35 ws. Soit par exemple à décomposer en fractions simples la fraction
Le développement sera de forme
x{x—2y (a?2 -i- 1 )2 — o: ^ {a: — 2)' ^ (.v — 2f ' aj — 2
La formule (26) donne immédiatement
on peut remarquer, dans le calcul du dénominateur, qu'ayant à faire .v = o dans la dérivée, il suffit de prendre la dérivée du premier facteur et de multiplier par les autres facteurs (^ — 2)^ {.-v^- -h 1)^ Cette remarque est souvent utile dans les applications.
Pour calculer Bj, B^, Bg, nous remplacerons x par 2 4- / et nous ordonnerons les deux termes de la fraction suivant les puissances ascendantes de i, ce qui donne, en n'écrivant dans la parenthèse que les trois termes qui vont être utiles.
^■3(50 4 los^H- 92^2 + ...)' ou, en effectuant la division du numérateur par la parenthèse 1/1 17 , 865,, \ 1 17 173
rnio~"ioo ^100 ^'"j~'iot-' loo^^^iooo^
"~ 10 (.x — 2]-' ÏOO {.V — 2)2 "^ 1 000 (^ — 2) "^ • *•
Donc
B -i B =-il B -i^
DES INTEGRALES INDEFINIES 33
C et D s'obtiennent en multipliant les deux termes de l'identité à e'iablir par {œ^ -\- ly et remplaçant d'abord x^ par — 1, ce qui donne
Cette identité n'a plus lieu que pour les deux valeurs de œ qui annulent x^ -\- 1. On peut encore chasser le dénominateur et remplacer x- par — 1, ce qui donne
2j; 4- 1 = (lie — 2D) a; 4- 2C — IID.
Celte identité devant avoir lieu pour deux valeurs de x, il en résulte
— lie — 2D = 2 2e — 11D = 1,
d'où l'on tire
Il reste à calculer C^ et Dj ; pour cela, dans la première identité, nous ferons passer la fraction
Cx -4- D . i ' j- 4,g -t- 3
(,:c2 -f. 1)^' ^ 25 (Jf + 1)-^ '
dans le premier membre, et nous multiplierons de nouveau les deux membres de l'identité par x^ -{- l ; en faisant alors x^ = — 1, on obtient
Le calcul s'achève comme ci-dessus et l'on trouve
Calcul infinitésimal 3
3i CHAPITRE l
liitég'ration des différentielles algébriques irralioniielles
36. On ne peut pas en général intégrer les difîérenti^Ues qui contiennent des radicaux. Mais la méthode de réduction dont nous nous sommes servis dans le n° précédent peut aussi leur être appliquée, lorsqu'on a une différentielle binôme.
Soit
J,„^^, = / x'''{a H- hx''ydx. (30)
Nous ne ferons, pour le moment, aucune hypothèse sur les exposants m et jo ; mais il est facile de voir qu'on peut supposer n entier. Supposons en effet
Nous ferons le changement de variables suivant
d'où
dx = (j. y'^- dy.
L'intégrale devient
et l'exposant dans la parenthèse est entier. Cela posé, l'intégrale (30) peut s'écrire
I„,^^, = 1 ^'« -"+ 'A'»- '(a -\- hx'^ydx,
I>ES INTEGRALES INDEFINIES 3b
d'où, en intégrant par parties,
, , (a 4- hx'^y + 1 y — /v.iîi — n -{- i y /
La dernière intégrale peut s'écrire
af'^-n{a + Jo!") (a -H hx'^ydx
ou
a / a"" -"(a + hx"-f + h \ ce'"' (a -h bx^ydx.
En reportant celte valeur dans l'équation (31) et ordonnant, on trouve
T — a:"^~"+'(a -i- bx"y + ^ __ a m — n -i- i , .„^.
'"'" ■" (m H- np -h 1)6 6 m -h /li? + 1 '" ""'^'" ^ ''
Cette formule de réduction n'est pas bien commode parce qu'elle diminue l'indice m de n unités et qu'il vaudrait mieux procéder par unités. Mais nous allons en déduire une autre formule. On a en effet évidemment
Appliquante formule (32) à l'intégrale I,„ + „,^;, nous transformons l'égalité précédente en celle-ci :
1,.,^ + 1 — a 1,,.,, H- ^^ ^ ^ ^ ^^^ + 1) ~ "^ ,n + ^^np + l ^'"'^^
36 CHAriTRE 1
d'où l'on déduit enlm l'identité
an{p -H 1) . a;"' + ^(a + hx"*)'!' + ^
dont l'écriture se simplifie un peu en diminuant m el p d'une unité :
Celte formule permettra si jo est positif de diminuer d'unités en unités jusqu'à ce que l'exposant soit compris entre zéro et un ; si /? est négatif, la même formule résolue par rapport à l,u - 1,2, -1 permettra d'augmenter l'exposant jusqu'à le comprendre aussi entre zéro et un.
Il tombe sous le sens que, ûp est entier, on arrivera finalement à la forme
a^'"(a -H hûG''^)clx
dont l'intégration est immédiate et donne
l'application de la formule (33) sera dans ce cas aussi rapide que celle qui résulterait des numéros précédents.
31. On vient de voir que, si p est entier, la différentielle algébrique s'intègre toujours. Il existe deux autres cas d'intégration ; pour les mettre en lumière, nous allons d'abord montrer qu'on peut toujours supposer n = \. Posons en efïet
d'oïl
hœ'"- = at
DES liNTEGRALES INDEFINIES 37
Il vient
1 l a\ 1^ i '" + ' — 1 x"\a + hoo''/'dx = - «^'U j j t " (1 -h tydl.
Nous pouvons alors, pour simplifier, supposer qu'on ait commencé par le changement de variables précédent et que, dans la formule (32), on ait
Elle devient ainsi
. (1 + ccy + 'x-' m . ^,.
Et cette formule de récurrence n'offre plus l'inconvénient de la formule (32); elle permettra, en diminuant ou augmentant d'unités en unités, de ramener m à êlre compris entre zéro et wi. Si m est entier, on sera même ramené à intégrer (1 H- xydx, ce qui est toujours possible, quel que soit/? : on trouve en effet immédiatement
38. Un dernier cas d'intégration est celui où m 4- p est entier. On a en effet identiquement
— -!— X'^ + ^'clCG X / '
soit » = -; nous poserons
d'où
dx = -^ dxi
et
rf-\ {f-'^y
et la dernière intégration se porte plus que sur une fraction rationnelle; elle peut donc être effectuée.
A part les trois cas dont il vient d'être question, on ne peut pas ramener aux fonctions algébriques ou logarithmiques l'intégrale de ^'"(1 + œ)pdx (J. M. P. 1853, Tchebycheff).
39. La transformation que nous venons d'employer réussit évidemment aussi dans le cas, à apparence plus compliquée, où l'on a une intégrale telle que
dans laquelle R désigne une fraction rationnelle et a, p ... des fractions numériques. Soit cl un dénominateur commun à a, p... ; on posera
ax -\~ b j
ex -\- a ^
et l'expression à intégrer sera rendue entièrement rationnelle.
40. Quelques exemples seront utiles pour éclaircir ce qui précède.
1° Intégrer
On pose
1 4- a? = î/% dx ^= Qy'dy,
et l'intégrale devient
dont la valeur en termes finis est
-|- + 2?/3 + 3y2 + 4 log (y 1) + log /rTT' H- ~ ,i arc tang ^,
quand on pose
2° Intégrer / sin^'j- cos^'j:' ^^, ??i et/? étant entiers. Nous poserons
sin'x" = /, ce qui transforme l'intégrale dans la suivante
et il est facile de voir que cette différentielle binôme est toujours intégrable quelles que soient les hypothèses faites sur la parité des lettres m et p. Nous donnerons d'ailleurs plus loin des moyens plus rapides d'opérer dans ce cas.
Intégrales abélieiines
41. Les intégrales, qui viennent d'être étudiées sous le nom d'intégrales de différentielles binômes, ne sont qu'un cas
particulier d'une classe des plus intéressantes, que nous allons maintenant définir.
ncc,y) = o (35)
l'équation d'une courbe algébrique indécomposable, c'est-àdire que f {x,y) est un polynôme entier en x et y, non réductible à un produit de facteurs rationnels de degrés moindres. L'intégrale
V{xjj)dx (36)
dans laquelle P désigne une fonction rationnelle et y une fonction implicite de x définie par l'équation (35) est une intégrale abélienne et l'on dit qu'elle est attachée à la courbe donnée (35).
L'élément fondamental de la courbe au point de vue de l'intégration est le genre, que nous avons défini (tome I, no 384).
4S. Considérons par exemple les courbes unicursales ou de genre zéro. On a vu (I n° 385) que les coordonnées d'un point peuvent, dans ces courbes, s'exprimer en fonctions rationnelles d'un même paramètre : soient
En portant ces valeurs dans l'intégrale (36), la différentielle devient rationnelle en t et peut être intégrée.
Comme première application, supposons que la courbe (33) soit une strophoïde
et cherchons à intéo:rer
DES INTEGRALES INDEFINIES 41
Pour cela il suffit de poser, dans l'équation (38),
y=tx,
d'où
et
1 — ^2 A — f" j r idt
^ H- ¥ j , I l + i tdt
^-y '^'' = - '^« / iTiii (nnT-
Or l'on a identiquement
(1 — ^) (1 + ^2)2 — 2(1 — t) (1 -^ Pf "^ 2(1 H- «-) •
Par suite, en tenant compte de résultats antérieurement calculés et remettant - au lieu de /, on trouve
^ dx=^
os -y
log V/ ~^~ y x^ 2{x' -h y-')
y étant une fonction à'x définie par l'équation (38).
43. Mais le cas particulier le plus intéressant des courbes de genre zéro est celui des coniques. Puisque ce sont des courbes unicursales, il résulte des considérations précédentes que l'on saura intégrer toute différentielle algébrique qui ne
renfermera pas d'autre irrationnelle qu'un radical de la forme \/ax^ H- 6j7 -H c ; car il suffira de poser
y == t^ax'^ H- ÔJ7 -t- c
et d'exprimer les deux coordonnées d'un point de celte conique en fonctions rationnelles d'un même paramètre, ce qui sera toujours facile.
Soit par exemple à intégrer
dx
Posant
nous remarquerons que cette conique coupe l'axe des x au point dont l'abscisse est égale à l'unité^ et nous ferons passer par ce point une sécante
Le second point d'intersection de cette sécante avec la conique a pour coordonnées
et l'intégrale devient
2cU
Sa valeur en termes finis est donc
lOg T T = lOg
1 "/(a-- l)(jj - 2) + 1 — ^/
Mais le cas des racines carrées de trinômes du second degré est trop important pour que nous nous bornions à ce qui précède, et nous reviendrons sur les diflérents cas particuliers qui peuvent se présenter lorsque nous aurons achevé d'exposer les théories générales relatives aux intégrales hyperelliptiques (voir n° Si)'
DES INTEGRALES INDEFINIES 43
Intégrales elliptiques et hyper elliptiques
44. La recherche des intégrales que nous avons étudiées jusqu'à présent ne nous a conduits qu'à des fonctions connues que nous désignerons à l'avenir sous le nom de fonctions élémentaires (rationnelles et circulaires, logarithmes, exponentielles). Dans ce qui va suivre, nous serons amenés par l'intégration à introduire de nouvelles fonctions.
Le cas le plus simple qui se présente après les courbes de genre zéro est celui des courbes de genre un. On sait (n° 291) qu'on peut faire correspondre la cubique
à toute courbe de genre un, de manière qu'à tout point de la première courbe corresponde un seul point de la seconde et inversement, les coordonnées de chacun des deux points s'exprimant rationnellement en fonction des coordonnées de l'autre. En d'autres termes, on peut remplacer l'intégration de toute différentielle algébrique attachée à une courbe de genre un par l'intégration suivante
RG>^ s/^.f - g,r - ^3) dx, (41)
dans laquelle R désigne une expression rationnelle. On pressent ainsi l'importance de ces nouvelles fonctions transcendantes sur lesquelles nous aurons à revenir plusieurs fois.
On appelle intégrales elliptiques celles dans lesquelles ne figurent pas d'autre irrationnelle que la racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré.
Dans les intégrales hyperellipiiques, le polynôme sous le radical est de degré supérieur au quatrième.
RédiicUon des intégrales hyperelliptîqiies
45. En général il ne sera pas possible de ramener aux fonctions élémentaires les intégrales hyperelliptiques ni môme les intégrales elliptiques. Il est donc essentiel de savoir diminuer autant que possible la difficulté du problème et de classer exactement ces nouvelles transcendantes. Nous verrons par exemple que l'intégration de toutes les intégrales elliptiques exige seulement l'introduction de trois nouvelles fonctions.
Montrons d'abord qu'on peut toujours supposer impair le degré n du polynôme P„ soumis au radical.
Désignons par I„ l'intégrale donnée :
et soit a une racine de P» ; nous poserons
Si n = 2jo, on aura
et par suite l'intégrale sera remplacée par une intégrale de même forme avec un polynôme du degré 2^3 — 1 sous le radical, [nversement si n = 2p — 1, et posant
on trouvera
^2l> - 1 ^tp
et la nouvelle intégrale contient sous le radical un polynôme de degré 2p.
DES INTKGRALES INDEFINIES 4';
Nous n'avons pas tenu compte, dans ce qui précède, de la distinction des racines réelles ou imaginaires. C'est un véritable inconvénient, puisque nous n'avons pas encore défini les intégrales contenant des imaginaires. Nous aurons donc à revenir sur cette question dans les applications.
