L / (^) VA

5i0 CHAPITRE XI

c'est le produit de deux facteurs qui s'intègrent immédiatement. Le premier donne

X = constante,

qui répond aux génératrices rectilignes. Le second donne

log f {x) + log if = log C]

qui représente les projections sur le plan des xy des lignes asymptotiques du deuxième système.

Dans le cas particulier du paraboloïde hyperbolique, on a f{x) =r ic et l'équation (125) devient y = c; c'est le second système de génératrices rectilignes.

Un autre cas particulier intéressant est celui de Vhèlicoïde à plan directeur c'est-à-dire de X^surfacede la visa filet carré. L'équation de cette surface est

^=.ytang|;

on a donc ici

d'où

f(x) = tang ~

' ^ '' X ail'

a cos^ - ^

et l'équation (123) devient

Les lignes asymptotiques du second système se projettent donc sur le plan des œ y suivant des cercles ayant tous pour centre l'origine.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE 841

424. Comme second exemple, lious allons chercher les lignes asymploliques de la surface du quatrième degré (*)

qui est une variété de \ Arrière voussure de Marseille.

Lorsque on attribue aux quantités a' et b"- les valeurs particulières

cos^ô' sin^Ô'

la surface devient le lieu des points dont la somme des distances à deux droites se coupant sous l'angle 2 6 est constante.

Les lignes asymptotiques de la surface (126) s'obtiennent aisément au moyen des fonctions elliptiques.

En calculant r, s, t et portant ces valeurs dans (123), on obtient, pour l'équation différentielle des lignes asymptotiques

(V" — h-) dx"^ 2xij dxdy [x- — a~) dy^ „

ce qui peut s'écrire

adx bdy

adoc bdy ~ y xij — ab ' ^^^

Posons actuellement

adx bdy ,/', ,

x^ — a^ y- — b^ ^ adx bdx i — ,

les racines e^, e^, e^, qui définissent j^w étant telles que

*) Eugène Rouché, Comptes rendus de V Académie des Sciences, S mars

Nous aurons, en Intégrant,

/ {X - a) [^y -oi / / -

et, par suite,

xii -\- ah , a^v — aô

pu = e, , pv = e, ■'

s/(po^ - «2) (^2 ^2) v/(^' — a') (2/' — &')

L'équation (127) devient ainsi

du zh c?(; = 0

et les lignes asymptotiques sont

w -h u = const et u — v = const

Revenons maintenant aux relations (126). En les multipliant et les divisant tour à tour membre à membre, puis en résolvantparrapportàa7et?/les équations ainsi obtenues, on trouvera facilement les coordonnées j: et?/ d'un point quelconque de la surface en fonction de u et de v ; l'équation (126) donnera ensuite z.

41^5, On peut remarquer que les lignes asymptotiques sont algébriques(*). En effet, l'équation w -i- y = constante peut s'écrire

p{u-^v)=.\ (^^^y -/,t. -pv = const. (129)

Les équations difîérentielles qui définissent u et v en fonction de X et de y, jointes aux équations (128), donneront pour jow, pv, p'ii, p'v, des fonctions algébriques de .r et de ?/ ; l'équation précédente (129) est donc algébrique en œ et y.

(*) Cette remarque est due à M. Lucien Lévy.