CAS D'ABAISSEMENT

Intégrale générale

456. Nous avons étudié dans le chapitre précédent l'intégration des équations ditrérentielles du premier ordre à deux variables

K-'^'iO=°-

Nous allons maintenant nous occuper de l'intégration des Equations différentielles à deux variables d'ordre quelconque n supérieur au premier

Admettons que lafonctionFsoitcontinuelorsquela variable .37 reste comprise entre certaines limites, et désignons par ^0' 2/o) à''o' ••• yo*-""^^ ^^^ quantités arbitraires. Il existe alors une fonction

et une seule^ jouissant de la double propriété de satisfaire à V équation (1) et de prendre ainsi que ses dérivées les valeurs

^0. y\-> y\, ■■' Vû^"-'^ pour x=^x^.

C'est à Cauchy qu'est due la première démonstration rigoureuse de ce théorème fondamental. Mais, comme nous l'avons déjà dit (ti° 365) à propos des équations difîérenlielles du premier ordre, cette démonstration malgré les simplifications qu'elle a reçues depuis, est encore trop compliquée pour être rapportée ici ; nous renverrons sur ce sujet au Cours d'Analyse de M. Jordan ou au Traité d'Anahjse de M. Picard.

On donne à l'équation (2) le nom (ïintégrale générale de l'équation différentielle (1).

4S7. Supposons que, par un procédé quelconque, on ail obtenu une équation

renfermant n constantes arbitraires Cj, C.j, ... Cn et d'où l'on peut tirer une valeur de y satisfaisant à l'équation différentielle (1) d'ordre n. L'intégrale générale de (1) étant unique, l'équation (3) coïncidera avec celte intégrale générale pourvu qu'on puisse attribuer aux constantes des valeurs telles que y et ses n — 1 dérivées prennent des valeurs arbitraires quand on donne à x une valeur choisie à volonté.

Cette dernière condition sera remplie, si du système formé par l'équation (3) et ses n — 1 dérivées, on peut tirer pour Cl, Ca, ... Cn des valeurs bien déterminées en fonction de

dy d" ~^y .

'°'y'dx""lb6^^'

car alors, on pourra faire correspondre, à une valeur quelconque de X, des valeurs arbitrairement choisies pour y et ses n — 1 dérivées.

438. Considérons deux exemples simples : l'' Admettons qu'on ait trouvé

y = Ce«'^ -^ C'e«'^ (4)

pour une solution d'une équation différentielle du second ordre E ; C et C sont des constantes arbitraires, et les nombres a et a' sont supposés différents l'un de l'autre.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES A DEUX VARIABLES 54c

En différentiant (4) on aura

^ = Cae"'' 4- C'a'e^'- ; (5)

et, si l'on résout (3) et (5) par rapport à C et à G', on voit que le dénominateur commun

est différent de zéro. Par suite, quelque valeur finie qu'on assigne à x, les équations (4) et (3) donnent pour C et G' des valeurs finies. L'équation (4) est donc l'intégrale générale de l'équation différentielle E.

Si l'on avait a' = «, il n'en serait plus de même. Aussi bien, dans ce cas particulier, l'équation (4) devient

Il n'y a donc qu'une seule constante arbitraire G -4- G'. 2° Supposons qu'on ait trouvé

y = Csin(.r --h a) 4- Csin(cc -+- a') 4- G"sin(a; -+- a") (6)

pour une solution d'une équation différentielle du 3*^ ordre F. En différentiant deux fois, on aura

-J- z= G cos [oc -i~ a) — C cos {00 -+- a') — C" cos {x -\- a") (7) ^^ = C sin (x -i- a) — G sin {œ -1- a') — C'sin (x -h a") ; (8) or les équations (6) et (8) donnent

en sorte que, dès qu'on a fixé ij, -i^{ ne peut pas recevoir

une valeur arbitraire. Donc, l'équation (6) ne saurait être l'intégrale générale de F.

Calcul infinitésimal 35

S46 CHAPITRE Xll

On voit d'ailleurs que la relation (6) développée se réduit à la forme

y = A sin X -\~ B cos oc ; elle ne renferme que deux constantes arbitraires.

Iiitéarrales des tlivei's ordres

4S9. Puisque l'équation différentielle (1) ne renferme plus les constantes Ci, Cj, ... C„ de l'intégrale générale (3), c'est qu'on n'a pu déduire (1) de (3) qu'en difîérentiant n fois <j/ = 0 et éliminant les n constantes entre la relation (]; = 0 et ses n dérivées.

Si l'on veut faire disparaître de (3) seulement i constantes Cj, (j2, ••. G; il faudra exécuter n — i difTérentiations. Ainsi, pour fixer les idées, prenons i = 2. On ditïérentiera deux fois l'équation 4^ = 0 ! puis on éliminera Ci et C^ entre les équations

' dx . dx^

Mais on pourra aussi éliminer d'abord C^ entre <\i = 0 et -t^, = 0,

puis éliminer Cg entre l'équation ainsi obtenue et sa dérivée. De quelque manière que l'on procède, on parviendra toujours à la même équation différentielle du second ordre. En efîet, si par deux marches dilTérentes on arrivait à deux équations distinctes du second ordre, l'élimination de j-^ entre ces

deux équations conduirait à une équation du premier ordre de la forme

^r'^' Jp ^^' ^^•'•••^") = ^-

Alors en joignant à cette équation celle qu'on en déduit par ?i — 2 ditîérentiations, on aurait un système de n — 1 équation an — 2 inconnues C3, C,, ... C». On ne pourrait donc

EQUATIONS DIFFERENTIELLES A DEUX VARIABLES 547

du d^)i

pas attribuer à z/, ^^ , ...^-^des valeurs arbitraires pour

430. Etant donnée une équation différentielle (1) d'ordre n, on nomme intégrale première ou du premier ordre de cette équation la relation que l'on obtient en faisant disparaître de l'intégrale n — 1 des constantes Cj, C^, ... d. D'après cela, on voit qu'il y a n intégrales premières et que chacune d'elles est une équation ditïérentielle d'ordre n — 1 renfermant une constante arbitraire.

De même, on nomme intégrale du second ordre de l'équation (1) la relation que l'on obtient en faisant disparaître de l'intégrale générale n — 2 des constantes C^, C^, ... C,j. Il y a

évidemment —^9 relations de ce genre, c'est-à-dire autant

qu'il existe de combinaisons de n objets 2 à 2. Chacune de ces intégrales du second ordre est une équation différentielle d'ordre n — 2 renfermant deux constantes arbitraires.

D'une manière générale^ on nomme intégrales d'ordre i de l'équation (1) la relation que l'on obtient en chassant de l'intégrale générale n — i des constantes Cp C^, ... C„. Il y a

évidemment — ^ \9 — '■ intégrales d ordre i c est-

à-dire autant que de combinaisons de n objets i à i. Chacune de ces intégrales d'ordre i est une équation différentielle d'ordre n — i renfermant i constantes arbitraires.

Enfin, il n'y a qu'une intégrale d'ordre n de l'équation (1). C'est l'intégrale générale (3).

431. Les cas d'intégration des équations différentielles d'un ordre supérieur au premier sont fort rares. Sauf la théorie des équations linéaires, que nous exposerons dans le chapitre suivant, il n'existe aucune méthode générale, mais seulement des procédés particuliers et quelques transformations propres à abaisser l'ordre des équations différentielles considérées.

Nous allons d'abord faire connaître ces cas de réductibilité qui, malgré leur petit nombre, permettent de résoudre beau-

348 CHAPITRE XU

coup de problèmes intéressants ; c'est par ces applications que nous terminerons ce chapitre.

Intégration de l'équation -r-^^ = «f [x)

43S. L'intégrale de l'équation

s'obtient immédiatement par n quadratures successives. En effet, en écrivant, pour simplifier, /(*), f^^^, /('') ... au lieu de //' ///' //// •••• on a successivement

et, enfin,

y= I c?(a:;)c?j;" H- Ci^?"— ' 4- c^a?"— * -+-...H- c„ (10)

433. A l'intégrale multiple qui figure au second membre, on peut substituer une seule intégrale simple. Considérons, en effet, l'expression

^{u){x — uy—'du (11)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES o49

et différentions sous le signe / par rapport au paramètre x (n*' 87), nous aurons successivement

ce qui prouve que l'expression Y est une solution de l'équation (9). Par suite, si l'on pose dans cette équation

on aura

d'où

c, Ca Cn désignant des constantes arbitraires. Donc enfin,

l'intégrale générale de l'équation (9) a pour expression

Pn, désignant un polynôme entier et de degré n — 1 en x.

3o0 CHAPITRE XII

Equations où n'entrent ni x ni y, mais seulement fleux tlérîvées consécutives