L'équation la plus simple de ce type est
que l'on peut écrire en posant
rf.-p- (*^)
dy
Il y a trois cas à distinguer :
1° On peut résoudre l'équation (14) par rapport à -y .
On a alors
%=m d'où d.=j^-^
et, par suite,
Si Ton peut tirer de cette équation p en fonction de x^ on aura
p = cp (jy) d'où dy = (Sj [x] dx
et, par suite,
y = I ^{x)dx -\- G'.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES bSl
Cette équation est l'intégrale générale puisqu'elle renferme deux constantes arbitraires C et C.
Si l'on ne peut pas tirer de (16) p en fonction de ^. on aura
d'où
dij = pdx = p ^
C étant une constante arbitraire, et l'on obtiendra l'intégrale générale en éliminant /? entre (16) et (17).
2° On ne peut pas résoudre l'équation (14) par rapport à ^ mais on peut la résoudre par rapport à p. On aura
c'est-à-dire
en posant
dp
dx -''
En différentiant alors la relation précédente^ on aura
dp = cp' (q) dq
Mais
par suite,
dx^f, cl, = Pf; (18)
rf^ = tW) dq, dy = liMM dq
et, par intégration,
a,^ I t^dq-^C, y= "f-^'MiÛ dq -|- C
oo2 CHAPITRE XII
C et G' étant deux constantes arbitraires. L'intégrale générale résultera donc de l'élimination de q entre les deux équations qui précèdent.
3° On ne sait résoudre l'équation (14) ni par rapport à /?, ni par rapport à q ; mais on sait exprimer /? et ^ en fonction d'une nouvelle variable u, en sorte qu'on a
^J = cp [il) ^ = 4* (m) ,
Les relations (18) deviennent alors d'où, par intégration,
/«>' (w) , n / ? (^) ^' (w) ^ , ni
C et G' étant deux constantes arbitraires. L'intégrale générale résultera de l'élimination de u entre les deux équations précédentes.
435. Considérons maintenant l'équation plus générale que l'on peut écrire
en posant
On tirera de (20)
EQUATIONS DIFFERENTIELLES A DEUX VARIABLES 533
et par suite
G était une constante.
Cela posé :
1° Si l'équation (22) peut être résolue par rapport à p, on aura
p=^f[ûo) c'est-à-dire ^-^^=f{x);
on sera donc ramené au type (9).
2° Si l'équation (22) ne peut être résolue par rapporta;?, on écrira (21) sous la forme
d'où
d"-~^ij / pdp
dï) Cl étant une constante arbitraire. En multipliant par pr-r
et intégrant, on aura
dx"^'- / F(]D) / F(^)-^^i^-^^2-
Et, en continuant de la sorte, on obtiendra la valeur de ij en fonction d'^ par des quadratures.
Voici un exemple :
Soit l'équation différentielle
dhi d^
Ci — ^ —
dx^ doc
quand on pose
dhj
elle devient
d'où
dx = a
et, en intégrant,
On peut résoudre par rapport à p, ce qui donne
p ou ^, = ./(eiI^CV ,
qui rentre dans le type (9), en sorte que l'on a finalement pour l'intégrale générale de l'équation proposée
y =z I dx I \/( ) — i. dx -\- C^X -\- C^',
C, Cl, Cj sont des constantes arbitraires.
Au lieu de résoudre (22') par rapport à p, on aurait pu suivre la seconde marche indiquée ci-dessus ; mais le calcul, sans être, difficile^ est moins simple.
Equations de la forme F (y, ^--2) = 0
436. Il y a deux casa distinguer suivant que cette équation est résoluble par rapport à t-^ ou par rapport à y.
1° Soit l'équation
g = îO/). (23)
En multipliant par 2 dy et intégrant on obtient
On tire de là
dy
dx =
y/c-^2fo{y)dy et enfin, en désignant le radical par R,
c'est l'intégrale générale puisqu'elle renferme deux constantes arbitraires C et G'.
2° Supposons qu'on ne puissepasrésoudrel'équationproposée
par rapport à ^-^, mais que l'on sache résoudre cette équation par rapport à y. On aura alors
