Lorsqu'une équation différentielle
Hy-ri'
ili,f'i....iX] = 0 (36)
dx- ' ' " cfe"
ne renferme pas la variable indépendante x, on peut abaisser son ordre d'une unité.
En effet, prenons ?/pour variable indépendante et
dy
dx ^
pour la fonction inconnue ; puis, cherchons à exprimer, en fonction de p et de ses dérivées par rapport hy, les dérivées successives qui figurent dans l'équation (36). Nous aurons
d-y dp dp dp
dx^ dx ldy\ dy
df:
dx^ dx^ \dy
i/-il.^*^,|^(,|)=,.||-,,(|V
On voit ainsi que, en général, -7-^^ s'exprimera en fonction de p et de ses n — 1 dérivées par rapport à y. Donc, si l'on porte
ces valeurs dans (36), on aura une équation d'ordre n — 1 en p ; et, par suite, l'ordre sera bien abaissé d'une unité. Si l'on sait intégrer cette nouvelle équation, on aura
P = ? (i/' c,, C2, ... Cn i) = <]; (2/); mais
^^c?y dy ;
on aura donc pour l'équation générale de (3)
dy
Ci, C2, ••• Cn sont des constantes arbitraires.
Equations homogènes
441. On peut abaisser d'une unité V ordre n d'une équation différentielle lorsqu'elle est homogène par rapport à y et à ses dérivées.
En effet, en vertu de l'hypothèse, l'équation pourra s'écrire
/ dy d'^xf d'Uj
if'Y 1 07, &, dx\ ... S^2 j ^0 (.37)
Mais, en posant
fudx
aura
dy fudx
d'y fudx (du \
dx^ — ^ \dx ^ ^^ ;
d^y fudx Id'u ^ du A
EQUATIONS DIFFERliNTlELLES A DEUX VARIABLES 361
Si l'on substitue ces valeurs dans (37), l'exponentielle disparaîtra, et Fon tombera sur une équation ditlérentielle d'ordre n — 1. En supposant qu'on sache intégrer cette équation, ti sera connue et y s'obtiendra par une quadrature (38).
44'S. Considérons enfin une équation différentielle
homogène par rapport à
X, y, dx, dy, d'^ij
c'est-à-dire qui ne change pas quand on multiplie par un même facteur chacune de ces quantités.
On posera
0 étant la nouvelle variable indépendante et u la nouvelle fonction. On aura alors
dii dz^ \
dx ~~ dO '^ ^ I
dx^ Uo- d^j \
En substituant dans (39) les expressions (40) et (41), on parviendra, vu riiomogénéité suppose'e, à une équation de la forme
S-àF.-) = 0 («)
d'où e^ aura disparu, et qui rentrera dans le type (3()). On abaissera donc son ordre A' une unité en posant
ds dQ
et opérant comme nous l'avons dit au n° 440.
Calcul infinitésimal 36
