La quantité à intégrer peut évidemment s'écrire

A, B, C, D étant des fractions rationnelles en x, et X un polynôme entier de degré In ou 2n — 1. On rend le dénominateur rationnel en multipliant, par C — Dy'X, les deux termes de la fraction, qui prend ainsi la forme

Le premier terme donne une intégrale / ^dx que nous savons effectuer; reste le second. Or, nous avons appris à décomposer FX en un polynôme entier ^cikX^' et en une somme

de fractions de la forme ~, '■ — r . Nous sommes donc ramenés

à deux types d'intégrales

œ^dx j d.v

Nous allons montrer que si m est le degré de X, la première intégrale ou plutôt la somme des intégrales analogues, est réductible à des fonctions algébriques et à des intégrales où les exposants k sont de degré inférieur à m — 1. A cet effet,

écrivons le polynôme /ai,x'' sous la forme

'^a,,x'' = aj,xi' -j- fp-i(x),

p étant le terme de degré le plus élevé et f{x), l'ensemble des autres termes. Soit enfin

X = Ao«'" -i- Ai.«'"-i -+-

On a l'identité

^(a?) étant aussi de degré p — 1. Il en résulte, en intégrant,

Le numérateur du coefficient différentiel est maintenant de degré p — 1 et l'on conçoit que, par application répétée de la méthode, on arrivera à un polynôme de degré m — 2.

Cela posé, les intégrales j -j^, dans lesquelles k est

maintenant inférieur à m — 1, peuvent encore être divisées en deux classes. Les intégrales de première espèce sont celles qui ne deviennent pas infinies avec x ; les intégrales de seconde espèce celles qui deviennent infinies avec œ. Cherchons à les distinguer. Pour cela écrivons

m f AI

v/x^.rVÂ;(i+^^ + ...

ou, en appliquant la formule du binôme généralisée,

X ' /Ao

On en tirp

le terme écrit e'tant le ternie de degré le plus élevé de la série.

L'intégrale sera donc de seconde espèce si A- >■ 9- — 1, et de

première espèce si A- < 9- — 1, la dernière inégalité n'excluant pas l'égalité, si m est pair.

Il est essentiel de remarquer que les intégrales de première espèce ne deviennent jamais infinies, et que les intégrales de seconde espèce ne sont infinies que pour x infini. Cela résulte immédiatement du n° 17 dans le voisinage des racines de X, et c'est vrai à fortiori pour toutes les autres valeurs de x.

4'7. — Considérons maintenant les intégrales de la forme

- «)'Vx

Deux cas sont à considérer suivant que X est, ou non, divisible par X — a. Revenant même un peu en arrière, parce qu'on n'a pas eu besoin jusqu'ici et qu'on n'a pas immédiatement besoin de supposer connues les racines des polynômes donnés, nous chercherons à réduire les intégrales de la forme (*)

(*) Pour nous borner à cette forme, nous nous appuyons sur ce fait^ Lien connu dans l'étude des racines multiples, qu'on peut toujours, par de simples divisions, mettre un polynôme sous la forme Q1Q2-Q3''..., Qj, Qi... étant premiers entre eux. Il n'y a plus qu'à appliquer la formule (21) pour avoir la forme du texte.

P étant de degré inférieur au degré de Q. Les deux cas à considérer sont celui où Q est premier avec X et celui où Q a avec X un diviseur commun.

Premier cas : Q premier avec X. — Comme le polynôme Q n'a que des racines simples, il est premier avec sa dérivée Q', par suite avec le produit Q'X et l'on sait, par la théorie du plus grand commun diviseur, trouver deux polynômes A et B tels que l'on ait identiquement.

1 = AQ -h B(Q'X), (42)

,. „.-. , , PB \/K.^ dcc

La dernière quantité, intégrée par parties, donne

PB v/X. ^ rfx = '- -L- PB v/X - ' i ''<™^^)

par conséquent, en effectuant la dernière différentielle et remplaçant dans l'équation (43) la dernière intégrale par sa valeur ainsi calculée, on trouve

r(PB)'X + l PBX'l

L'intégrale du second membre est de même forme que celle du premier membre, mais l'exposant de Q est diminué d'une

unité. La formule (44) est donc une formule de re'duction, et l'on pourra s'en servir pour toutes les valeurs de ;j. supérieures à l'unité. L'intégrale proposée est donc, en dernière analyse, égale à une expression rationnelle en x et \/X augmentée d'une intégrale de la forme

qu'on ramènera au type

en décomposant n en fractions simples.

Deuxième cas : X a un plus grand diviseur D commun avec Q. — Soit

X = DX,, Q = DQi,

comme D est premier avec Q^, puisque, par hypothèse, Q n'a pas de racines multiples, on pourra (formule 21) décomposer

p la fraction jrjx en deux fractions simples

P = Pj - Zi.

On aura donc

La deuxième intégrale du second membre rentre dans le premier cas traité, parce que Qi premier avec D et avec Xi,

Calcul ikfinitiîsimal 4

est premier avec X. Dans la première, D divise exactement X et on peut écrire cette intégrale, en faisant sortir D du radical,

= dx.

D'^^ls/X,

Il n'y a plus maintenant qu'à répéter textuellement la méthode suivie dans le premier cas, sauf que Q est ici rem-

placé par D et [j. par [j^ -H 9, pour obtenir une formule de

réduction analogue à (44). Seulement ici l'exposant étant fractionnaire, on pourra faire [jl = 1 , et la seule transcendante qui subsistera sera de la forme

/ Fdx l Pdx

Cette intégrale a été examinée au n° 46, et dans ce numéro nous n'avons trouvé qu'une nouvelle transcendante, savoir

qu'on appelle intégrale de troisième espèce.

48. Dans le cas où X est du troisième degré, il y a une intégrale de première espèce

^kor — g^x — g\

une de deuxième espèce

xdx

\IW^~ g,x -^/

DES INTEGRALES INDEFINIES

sans parler de rintégrale de troisième espèce

{.X — a) s/^x'^ — g.;^oc — ^3

49. Si X est du quatrième degré, nous allons faire voir qu'on peut toujours supposer que c'est un polynôme bicarré.

Il est d'abord évident qu'en partant du radical \/4.r ' — g^nc — g,^ on obtient la forme bicarrée par la substitution suivante} a? =: a + t-, dans laquelle a désigne une racine réelle de

Réciproquement, si X est bicarré, en posant x" = z, on retombera sur les formes du n° 48.

Soit maintenant X quelconque du quatrième degré ; nous pouvons le supposer décomposé en un produit de deux facteurs réels du second degré, c'est-à-dire mis sous la forme

X = {ax- -+- hjj H- c) (a'a;- + b'x H-c') ;

supposons de plus que, si ces facteurs ont eux-mêmes leurs racines réelles, ces racines ne soient pas enchevêtrées. Nous ferons la substitution

Il en résulte

en posant

Y = [a(ay .-h ^y H- h{.ij + P) (y + 1) + % + 1)^] [a'(ay H- ^r -+- b'i^y + P) (y + 1) + C'(y 4- l)^].

Exprimons que, dans chacun des crochets, le terme en g disparait, nous aurons, pour calculer a et p, deux équations

2aai3 + &(a -+- p) + 2c = o ; 2a'ap -h &'(« -l- P) + 2c' = 0 ; ^ (-^0

on en lire a^ et a h- p. L'équation du second degré, qui fera connaître a et p, aura ses racines réelles parce que la condition de réalité

(^ac' — ca'y — {aV — ha') (bc' — cb') > o

exprime précisément que les racines des deux facteurs qui composent X ne sont pas enchevêtrées. Nous avons donc réussi, par des substitutions réelles, à transformer une fonction rationnelle en x et \/X, X étant un polynôme quelconque du 4me degré, dans une autre fonction rationnelle en y elV^Ypour laquelle Y est le produit de deux facteurs de la forme my^ -+- n, c'est-à-dire pour laquelle Y est un trinôme bicarré.

Y = ly'* + \±if + V. (48)

A vrai dire, l'analyse précédente suppose que l'on peut tirer a^ et a -i- ^ de (47), c'est-à-dire que l'on n'a pas

b___ b^ 'Àa'~ 2a''

Mais si cette dernière égalité avait lieu, en posant dans X

on aurait immédiatement

X=.Uy^+ ■ [a'y

ce qui est bien la forme (48).

On voit alors immédiatement, d'après la classification du n° 46, qu'il y aura une intégrale elliptique de première espèce

et une de deuxième espèce

/ x^dx

L'intégrale / ^^ '^ n'est pas elliptique, comme

on le voit en posant x- =■ z.

Legendre, à qui l'on doit l'idée première de cette classilication des intégrales elliptiques, ramenait toujours la quantité soumise au radical à la forme canonique

A^ étant inférieur à l'unité. Pour obtenir celle forme à un seul paramètre, il était nécessaire de multiplier la variable par un facteur que Legendre appelait le multiplicateur. Enfin cet illustre auteur avait été amené à prendre comme intégrale type de deuxième espèce, non pas la forme (50), mais

et comme intégrale de troisième espèce

(1 -h mx^) /(l x^) (1 — k^x^) Comme on a identiquement

' v/(l - CG'^) (1 - k^X^) '~ ' "

on voit que l'intégrale de deuxième espèce de Legendre se

Oi CHAPITRE l

rattache de la manière la plus simple aux types qui résultent de la classification générale.

50. Nous allons montrer qu'on peut toujours par des transformations re'elles ramener le polynôme (48) à la forme canonique (ol), sauf, bien entendu, le cas où ^ , i^ et v seraient tous les trois négatifs. Encore dans ce dernier cas Ii et I^ étant purement imaginaires, on pourra en mettant ^ — 1 en facteur

faire rentrer ce cas dans celui où tous les coefficients sont positifs.

Supposons le polynôme bicarré, soumis au radical, décomposé en un produit de deux facteurs réels

X = {ax''- H- h) {a!x- -h h').

On peut toujours supposer a > o, puisqu'on aurait le droit de changer tous les signes dans les deux facteurs de X. Posons alors

d'où

ax^ -\- b = t",

axdx z=: tdtf

, têt

L'intégrale elliptique de première espèce devient

Le facteur ax^- -4- & se trouve remplacé par le facteur t^ — h où le second terme a changé de signe. Nous pourrons donc toujours supposer qu'e le pFemier facteur a ses racines réelles :

DES INTEGRALES INDEFINIES 55

désignons le par a^^ — 3^2^ q{ nous n'aurons que quatre types différents

X = Çv' — a^) (J3\r2 — Y') X = {cc^ — a^) (— ^x^ 4- Y^')

X = (a;2 «2) ( ^jyl .^2-)

La substitution

suivie d'un changement de signe des deux facteurs qui composent X, ramènera les deux derniers types aux deux premiers. Enfin une substitution analogue à celle déjà employée,

ramènera la première forme à la seconde, à laquelle nous pouvons donc limiter notre examen. Nous l'écrivons, après suppression d'un facteur positif constant,

X = (1 — aKv') (l — b'x'-).

a ei b ne sont pas égaux, sans quoi X serait un carré parfait et ^X serait rationnel. Soit

a^ < bK Posons

Tl vient

Une dernière substitution,

donnera

X = (1 — x\) (1 — k^xf),

ce qui est la forme canonique.

Quant à l'intégrale de troisième espèce

(ce — a) /X

il suffit de multiplier les deux termes de la fraction par x -\- a pour apercevoir qu'elle est la somme d'une fraction intégrable et d'une intégrale de la forme adoptée par Legendre pour type des intégrales de troisième espèce.

Posons œ = sin o ; ces trois types deviennent respectivement

C?cp

v/l — /i-'^sin"-o

Ig := I do \/l ■ — Ai'^sin^cp

(1 H- m singes) \/l — hhin^f

Remarque. — Si /« = o les intégrales elliptiques se réduisent aux fonctions circulaires

I r= cp = arc sin £(7, Ij^arcsina?, I3 = —=^ — . arc tg (y/l h- m tgcp).

De môme si A;^ =:= 1, on trouve les fonctions logarithmiques

Il = — log fg (1 — Ij. I2 = sin p,

\ = n^ log f^ -H ^ï4^. lûg (1 + ^).

DES INTEGRALES INDEFINIES 57

51. Exercices. On peut souvent réduire aux intégrales elliptiques des intégrales à apparence hyperelliptique. En voici quelques exemples.

Les deux intégrales (*)

¥{x]d(c / ¥{x)dx

peuvent être ramenées aux intégrales elliptiques par une des deux transformations

cc^ ^= .p séc-cp — Y lang^cp x^ = P cos-cp -h Y sin-o,

après qu'on les a transformées, par des procédés analogues à ceux qui viennent d'être employés, de manière à les mettre sous la forme (p > y)

f[x'-)dx / f{x^)dx

La substitution

ramène l'intégrale

Vï

à la forme elliptique (Serret, calcul intégral ISt^S p. 65). Enfin les deux substitutions successives

(*) M. DE Sparre, Annales de la Société scientifique de Bruxelles, T. XXI, IP partie 1897.

o8 CHAPITRE l

ramènent l'intégrale

af{x H- bf{x -+- cf

à la suivante

52. La méthode de réduction des intégrales hyperelliptiques s'emploie avec succès dans les intégrales où la seule irrationnelle est un radical portant sur un trinôme du second degré. C'est même le plus souvent la méthode la plus rapide pour arriver à l'intégration. Nous pouvons donc considérer seulement l'intégrale de première espèce

I t dx

\/ax^ -i- bx -Y- c et celle de troisième espèce

(j; — a) \/ax^ -t- bx h- c

On voit d'abord que la dernière se ramène à la précédente

il en résulte en effet

dx = —

DES INTEGRALES INDEFINIES .H9

s/a ^ by -\' cxf-

Nous n'avons donc qu'à considérer I^ et à indicfuer, suivant la nature des racines du trinôme, le procédé le plus propre à effectuer dans chaque cas l'intégration. On peut d'abord, dans tous les cas, écrire le trinôme

ô \- kac — &* a\x '

2aj 4a '

par suite, en prenant œ + ^- pour variable, on aura trois formes distinctes ;

Suivant la métliode indiquée au n° 43, nous poserons, pour inte'grer les deux premières,

ce qui revient, au point de vue géométrique, à couper la courbe lâ = /^ ± «^ par une parallèle à une asymptote. On en tire

t = ,^ ~ , dt = ~^ o ■> dz,

Les deux intégrales deviennent ainsi

— log Z = iog (\/t'^ ± Oi^ — t),

ou enfin, en supprimant la constante Iog a% dt

= Iog {t -H \/t- ± a^). (52)

Si le trinôme sous le radical est réductible à la forme o.^ — i^, nous poserons

t= a sin p, d'où dt = a cos cpofcp,

= arc sin -. * (53)

53. Nous avons opéré sur les formes réduites auxquelles on est conduit, en dernière analyse, par l'application de la méthode générale. Mais il est clair que les changements de variables effectués sur ces formes réduites auraient pu être opérés dès le début sur l'expression

R{x, \/ax- H- bx -h c)d.v,

où R désigne une fonction rationnelle. Le résultat auquel on arrive est une fonction rationnelle de la nouvelle variable, sauf pour la dernière substitution qui introduit sin © ; mais on sait qu'on peut exprimer les lignes trigonométriques d'un même

DES INTEGRALES INDEFINIES 61

angle en fonctions rationnelles d'un paramètre par les formules 2u 1 — r<2 2u ]

, 2du (^^^

On peut donc considérer l'irrationalité comme ayant entièrement disparu dans tous les cas.

Afin de réunir tout ce qui concerne ces fonctions, rappelons la méthode du n° 43 qui suppose connues les deux racines a et p du trinôme ax- -+- bx -^ c ; on pose alors x — a = (x — ^)i'^ .