OU
dhi 1 du 1 fcluV' . ,„^s
dx'^ X dx u \ dxj ^ '
Cette équation rentre dans le type (46) et par conséquent, d'après la formule (47), elle a pour intégrale générale
e ' • o?t« r=: C, + C le' dx
ou bien c'est-à-dire
log w = Cj H- G log X
u = Ax'^.
On aura enfin la courbe demandée en remplaçant îc par cette expression dans la seconde des relations (49). On trouve ainsi les courbes du genre parabolique
y = Bx?, B et p étant des constantes arbitraires.
Problèmes relatifs à la courbure des lignes planes
446. Avant de traiter ces problèmes, nous devons signaler une expression remarquable du rayon de courbure p en fonction du rayon vecteur r et de la distance P de l'origine à la tangente.
On obtient cette formule
en éliminant ds et d^ entré les relations bien connues ds fj dr . ^j rdQ
566 CHAPITRE Xll
puis en remplaçant r sin V par P ; 6 désigne l'argument et V l'inclinaison de la tangente sur le rayon vecteur.
447. Trouve!' la courbe plane dont le rayon de courbure est une fonction donnée de V abscisse.
L'équation différentielle du problème est
Elle ne contient pas y ; on pourra donc (n° 439) abaisser son ordre d'une unité, c'est-à-dire la ramener au premier ordre. A cet effet, on pose
dy ,, , d^v dp
— ^ 'T) d. OU — —!—
doo ■^' dx^ dx^
ce qui permet de mettre Téquation sous la lorme
dp dx
Les variables étant séparées^ l'intégration est possible et donne
X désignant l'intégrale \ jf-y On sait d'ailleurs résoudre cette équation par rapport à /? ; on trouve ainsi
dy X -t- G
\/r— (x-hC)^'
V^l - (X + C)^ Il y a deux cas intéressants.
Le premier cas est celui où l'on a
fi^x) = constante = R ; Il en résulte d'abord
puis, en remplaçant la constante C par k- ,
[x — Cj) dx p
v/r^ - [x - 0,f et enfin
qui représente des cercles de rayon R.
Le second cas est celui où l'on a
a était une constante donnée.
Il en résulte d'abord
puis, en lemplaçant la constante C par ~^,
\Ja' — {x'^ + C,Y
dx -H C,
Cette équation s'intègre au moj'^en des fonctions elliptiques. Elle est susceptible de diverses interprétations : ainsi, on peut d'abord la considérer comme représentant la courhe élastique, c'est-à-dire la courbe formée par une lame de ressort fixée à un bout et portant un poids à l'autre. C'est aussi l'équation de la
courbe que décrit le foyer d'une ellipse ou d'une hyperbole dont le grand axe est donné en longueur et qui roule sans glisser sur l'axe des x.
448. Trouver la courbe plane dont le rayon de courbure est une fonction donnée du rayon vecteur.
En coordonnées reclilignes l'équation différentielle du problème est
dx'^
= cf [\Jx'' + 2/2) ;
c'est une équation de second ordre assez compliquée ; et, il est assurément préférable d'employer les coordonnées polaires et de recourir à la formule
rdr ^=d¥
<du n° 446. On a ainsi pour l'équation différentielle
rdr f s
et une première intégration donne
P:^/-(ry + C, (53)
en posant, pour plus de simplicité,
? (r) Mais
P := r sin V =
^^ ^dr'' + r^c^e's
EQUATIONS DIFFERENTIELLES A DEUX VARIABLES ^{S9
et, en portant cette valeur de P dans (53), puis résolvant par rapport à d^, on obtient
f{r) -\- G dr
d'où, en intégrant et désignant par Ôq la seconde constante arbitraire,
On est de la sorte ramené aux quadratures. Voici deux exemples :
l'équation (33) devient alors, si l'on désigne la constante C par — «,
dr r
if Mais l'expression sous le signe / peut s'écrire
dr r
ar — a-
On a donc pour l'équation de la courbe cherchée
0 = Gq + - v/2 ar — a- M- arc sin ( - — 1 j.
Cette ligne est une sorte de spirale.
2° Soit
570 CHAPITRE XU
On a ici
et l'équation (55) devient
dr
c'eat une intégrale elliptique.
Dans le cas où l'on attribue à la constante C la valeur zéroy l'intégrale s'obtient immédiatement et l'i'quation de la courbedevient
0 =^ Ûg H- 2 arc cos ^
ou bien
cos 2 (6 — Oq) '
Sous cette dernière forme on reconnaît une hyperbole équilatère.
449. Trouver la courbe dont le rayon de courbure est proportionnel à la longueur de la normale (limitée à l'axe des x).
L'équation différentielle du problème est
où K est un nombre donné, positif ou négatif suivant que la courbe est convexe on concave vers l'axe des x.
Cette équation différentielle du second ordre ne renferme
EQUATIONS DIFFERENTIELLES A DEUX VARIABLES 571
pas X. On peut donc la ramener au premier ordre (n° 440). A cet effet, on pose
dy ,, , d^y dp ^
dx ^ dx^ '^y^
et, après la substitution de ces valeurs, on tombe sur une équation
pdio dy
1 H- p- \iy
qui est du premier ordre.
Les variables étant séparées, on intègre immédiatement ; et, l'on a, en désignant par c une constante arbitraire
log (1 + f) = g log d'où
On a ensuite
"" = f = \!Sf - 'V "" <'''
et, enfin,
"-^fW-^V
x = a-\- 1 \iyY—i " dy (59)
a étant la seconde constante arbitraire. Nous avons pris le radical (57) avec le signe -t- ; le signe — donnerait le même résultat.
Le second membre de la relation (58) est une différentielle binôme ; d'après le n° 36, on peut l'intégrer lorsque K est un nombre entier d'ailleurs pair ou impair. Nous allons traiter les cas qui correspondent à K =: ± 1 et à K == ± 2.
lo Soit K = — 1. L'intégrale (59) devient
x=a — ^ç-i yi
572 CHAPITRE Xn
OU
(x — af H- 2/- = c"^ ;
elle représente un co^cle de rayon arbitraire et dont le centre est sur l'axe Ox.
2° Soit K = 1. L'intégrale (59) devient
oc = a
éi /y ' /> \r\tr -L \-^
sUf — c^
— =z a -\- c lo
On peut lui donner une autre forme. Pour cela, on tire de l'équation précédente
puis, en renversant,
et enfin, en ajoutant membre à membre, on obtient
c'est l'équation d'une chaînette. On démontre, en Mécanique, que cette courbe est celle que prend un fil pesant, homogène, et suspendu à ses extrémités. Galilée, qui l'a considérée le premier, l'avaii d'abord confondue avec un arc de parabole qui efTectivement a une allure analogue. 3° Soit K = — 2. L'équation (58) devient
d(^=\/ -^Zl-y <^\h
OU, en remplaçant la constante c par 2 h,
dx = y du, u = arc cos 11 — ^j,
on déduit de là
cos w = 1 — f ,
d'où
y = h {i — COS w); (60)
on a ensuite
dx = & (1 — cos u) du
d'où, en intégrant,
X ^= h [li — sin u) (61)
Les équations (60) et (61) de'finissent (n° 286) une cycloïde ayant Taxe des x pour base et b pour rayon du cercle générateur.
4° Soit K = 2. La formule (39) devient ici
x-a = \/c I -~^^ = 2\/ciy-c),
d'où
(x — aY
c'est l'équation d'une;?araèo/e dont la directrice est l'axe desx.
Equations où fig-iire l'arc de courbe s
450. Certains problèmes conduisent à une équation dans laquelle figure l'arc s de la courbe en question. Voici la marche à suivre pour passer de cette forme d'équation à la forme ordinaire en coordonnées rectilignes.
On ditTérentiera l'équation donnée; puis, on remplacera ds par \/dx^ -+- dif, et enfin on éliminera s entre l'équation ainsi
t;74 CHAPITRE Xll
obtenue et la proposée. On aura de la sorte une équation différentielle entre .r et ij seulement.
Dans le cas particulier où l'équation donnée peut être résolue par rapport à s, il n'y aura pas d'élimination à faire après la différentiation.
Voici quelques applications :
1° Soit
s ^= oc cos OL -i- y sin a ; la différentiation donne
ds ^= cos a. dx H- sin a. di/ c'est-à-dire
\/dci
'2 -H dy'^ = cos a dx + sin a dy,
ou encore
'+(ïy = ™'' =■ + "'" "s
On tire de là
et enfin
?/ =r 07 tg a 4- C
2° Soit
On a
s = \/ny.
d'où
ds
ou \/dx^ -^ dy- = t / j~ dy,
et enfin
dx = K/ ~-\dy;
c'est l'équation différentielle de la cycloïde (n° 449, 3°).
ÉQUATIOxNS DIFFÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES 375
3° Considérons encore l'équation
ou p désigne ^ .
On a, par différentiation,
ds = \/i + p^- dx = o' (p) dp, d'où l'on lire
dx = !'i^L dp,
et par suite
On déduit de là
2odx ou dij = |^:| dp.
x-.C= j -iM= dp (62)
^^^' ^C dp (63)
G et C étant deux constantes arbitraires. En éliminant p entre les deux dernières relations, on obtiendra l'équation entre œ et y.
Si l'on peut résoudre par rapport à p l'une des deux relations (62) et (63), cette relation suffira et il sera inutile de faire intervenir l'autre. En efîet, supposons que l'on sache résoudre (62) par rapport à p, on aura
P ou ^| = F(a7) d'où l'on déduira
y — Cl = I F{œ)dx
576 CHAPITRE Xll
pour l'équation en x ei y de la courbe considérée. De meme^ si l'on sait résoudre (63) par rapport à p, on aura
d'où l'on déduira
pour l'équation cherchée.
Comme exemple, prenons
5 = a arc tg (p).
Ici l'équation (63) donne
On en déduit
\/a^- -(y- C'ret enfin, en intégrant,
(x- — cy -h (y — C')^ = a^
G' est un cercle de rayon donné a, et de centre arbitraire.
Courbe de poursuite
451. Considérons un mobile décrivant d'un mouvement uniforme une ligne donnée C. On nomme Courbe de poursuite la courbe c que décrit d'un mouvement uniforme un second mobile se dirigeant sans cesse vers le premier.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES A DEUX VARIABLES 5',7
Soient M(X^ Y) et m{x, y) des positions contemporaines du premier et du second mobiles et
l'équation de la ligne C.
En un point quelconque m de c la tangente doit passer par le point correspondant M de C ; cette condition s'exprime par la relation
Les deux mouvements étant l'un et l'autre uniformes, on aura, en appelant n le rapport des vitesses^
nd'è = cls
ou, en prenant x pour la variable indépendante,
Les relations (04) et (63) déterminent X et Y en fonction de X, î/ et II
On en déduit, en dilîérenliant,
d\ 1 du d^y\ dX , / dy dHi\
c^-i = ^^(^' 2/. â't rf^O' dx = ^K^' 2/' dx' dâl'
et la substitution de ces deux dernières valeurs dans (66) conduit, pour déterminer la courbe inconnue c, à une équation différentielle du second ordre qu'on ne sait intégrer que dans des cas particuliers.
