Le cas particulier le plus intéressant est celui où la
Calcul ikfihitésimal 37
g78 CHAPITRE XII
ligne G est une ligne droite. La courbe de poursuite correspondante c reçoit alors le nom de courbe du chien qui cherche à. rejoindre son maître.
Le chien part de l'origine 0 des -coordonnées tandis que le maître part au même instant d'un point A (oA = a) de l'axe des X et décrit la parallèle menée par A à Taxe des y.
Les équations (64) et (65) sont alors
X = a, Y = 2/ H- ^- (a — x) an obtient, par différentiation,
dx ' dx ^ ' dx^ '
puis, en portant ces valeurs dans (66), on trouve l'équation différentielle du second ordre
dx^ 1 ^g^^
Elle est de celles où tj n'entre pas (n° 439). On pourra donc la ramener au premier ordre.
A cet effet, on pose
dij 1, , d'^y dp
dx ^' dx^ dx '
ce qui permet de mettre l'équation (67) sous la forme
dp^ dx
lies variables étant séparées, on a, en intégrant,
log (|3 H- V 1 H-p^) = log (« — J^) H- log Cj
OU
p H- /l + p- = Cl (a — A') ■ »
€i étant une constante arbitraire. En re'solvant par rapport à ^ , on a
puis, en intégrant,
si n diffère de 1, et
y = - /.n — ^- log (^ ~ a) + G2
si ?z est égal à 1.
Lignes géodésiqiies
453. Nous avons vu au n° S25 du tome I que l'équation •différentielle des lignes géodésiques est une équation du second ordre qu'on ne sait intégrer que rarement.
Nous avons en outre donné aun° S33 du même tome l'équation différentielle des lignes géodésiques des surfaces de révolution, et nous avons annoncé que cette équation
'^dû^-^^''dïc-^'^-'{:dïù =^' (69)
€Ù r' désigne la dérivée de r par rapport à u, avait pour intégrale générale
a du
rvv
a ei b désignant deux constantes arbitraires.
C'est ici le lieu de montrer comment on trouve cette
tégrale.
On pose
dv J
du \fy
d'où
diù^
dy
du
et, en portant ces valeurs dans (69), on obtient l'équation linéaire du premier ordre
^-4^2/ = 2rr' d^i r "^
que l'on intègre par le procédé connu (n° 377). On a ainsi
puis, la relation (71) donne la formule (70).
454. Comme second exemple, nous allons chercher les lignes géodésiques de Vhèlicoide à plan directeur. Nous partirons de l'équation différentielle
P, 9', — 1 dx dy dz d-x d-y d^z
qui exprime qu'en tout point de la ligne géodésique le plan osculateur est normal à la surface. On a d'ailleurs, pour l'hélicoïde,
a? = r cos G, y = '>' sin G, z = ad
d'où l'on déduit
a sln 9 a cos 6
ainsi que les valeurs des différentielles dx, dy, dz d-x, d^y, d-z calculées (n° 104, tomel) dans l'iiypollièse où 0 est la variable indépendante.
La substitution de ces expressions dans le déterminant (72) donne, par un calcul un peu long mais facile, l'équation différentielle du second ordre
qui ne contient pas 9.
On ramènerait cette équation à une équation linéaire du premier ordre en posant
mais il est plus simple de poser
r = a tg V. (75)
L'équation (74) devient alors
-rrrr = Slll V COS V
ou
rf/f)" = <ism>V.
On en déduit par deux intégrations successives
dV
\/sin2 V H- G G et C étant deux constantes arbitraires.
b82 CHAPITRE XII
En revenant à l'ancienne variable r d'après la relation (75), on a définitivement
c'est une intégrale elliptique.
La question se prête à une discussion intéressante, pour laquelle nous renvoyons le lecteur au Mémoire de M. Catalan sur les surfaces réglées à plan directeur {Journal de V Ecole Polytechnique 1843).
