CHAPITRE XIÏI ÉQUATIONS LINÉAIRES D'ORDRE QUELCONQUE

Définitions

455. On nomme Equations linéaires d'ordre n les équations différentielles dans lesquelles la fonction inconnue ij et ses dérivées jusqu'à l'ordre n inclusivement n'entrent qu'au premier degré et ne se multiplient pas entre elles.

Leur forme générale est

(^) 'cé -r P. -i-^{ + + Pn-X 5^ + Pn?/ = Q,

Pj, Pj,... Pn, Q étant des fonctions données quelconques de la variable indépendante x.

Ces équations jouissent de propriétés remarquables dont l'ensemble constitue un des chapitres les plus intéressants du Calcul intégral. Mais ce n'est pas uniquement au point de vue Analytique que cette théorie offre une grande importance; elle intervient en outre fréquemment dans l'étude des Lois phj^siques. Considérons en effet une équation différentielle quelconque

et supposons que cette équation soit l'expression rigoureuse de la Loi d'un phénomène naturel. Il arrive le plus souvent, d'après la nature de ce phénomène, que ij et ses dérivées sont astreints à rester très petites. En négligeant alors leur*

produils et leurs puissances supérieures, on est conduit à une équation linéaire, et l'on peut prévoir par ce simple aperçu le rôle important des équations de ce genre.

Nous distinguerons deux cas suivant que l'équation linéaire proposée renferme un second membre ou en est dépourvue. Dans la suite de cette étude nous désignerons par {A) l'équation complète et par (B) l'équation

privée de second membre.

Nous emploierons d'ailleurs souvent la notation z/"'), au lieu

de ^, pour représenter la A'^'"^ dérivée de ij par rapport à x.

Enfin, si y^, y^,.-- ijk désignent des solutions de l'équation (B), nous dirons que ces solutions sont distinctes lorsque le déterminant

formé avec ces k fonctions et leurs k — 1 premières dérivées ne sera pas identiquement nul.

Forme de Fîntégrale générale de l'équalion (B)

456. Théorème I. — Si ij^.ij^^... yu sont des solutions de rèquation (B), et si C^, C^,... C;, désignent des constantes quelconques, l'expression

G] Vi -i- C22/2 -+- ... H- C^î/i

est aussi une intégrale de (B).

La démonstration n'ofîre aucune difficulté : il suffit de substituer dans (B) l'expression (1) et ses n dérivées successives.

ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE QUELCONQUE 5 80

45T, Théorème IL — Si Von connaît n intégrales particulières distinctes y^, y,,.-- 2/« ^^ V équation (B) on aura V intégrale générale de cette équation par la formule^

7/ = Cl //i + Cg ;/2 4- ... 4- Cnl/n (2)

où Cl, C2,... Cn so?it des constantes arbitraires.

En effet, d'abord il résulte du n° précédent que l'expression (2) est une solution de (B) ; et, comme elle renferme n constantes arbitraires, il suffit, pour prouver qu'elle est l'intégrale générale de (B), de faire voir qu'on peut déterminer ces constantes Cl, Co,... C„ de façon à pouvoir attribuer à ?/ et à ses {^n — 1) premières dérivées y\ y",... ?/(»-^) des valeurs arbitrairement choisies pour une valeur quelconque de la variable x.

Or, si l'on considère l'équation (2) et celles qu'on en déduit en différentiant n — 1 fois de suite par rapport à x, on obtient le système d'équations du premier degré

d'où l'on pourra tirer pour C^, C^,... C„ un système de valeurs unique et bien déterminé puisque le déterminant A„ est différent de zéro.

Ce théorème fait connaître la forme de Vintégrale générale de l'équation (B). Mais, pour obtenir cette intégrale, il faut connaître n solutions particulières, ce qui est difficile vu l'absence de méthode pour trouver de telles solutions. On y parvient cependant dans le cas suivant qui, très particulier en apparence, se rencontre fréquemment dans les applications.

Intégration des équations linéaires à coefficients

constants

458. Remarquons d'abord que si, dans l'équation (A), tous les coefficients, y compris le terme Q, sont constants, il suffira

de changer y en ?/ + p- pour réduire à zéro le second membre.

Nous n'avons donc à considérer que l'e'quation (B) danslaquelle les coefficients sont supposés constants.

Nous nommerons équation caractéristique relative à l'équation différentielle (B) l'équation algébrique

que l'on déduit de (B) en y remplaçant les dérivées ?/("),.

î/("-^),... y' par les puissances r'\ r«-S... r.

459. Théorème TH. — Si Von désigne par r^ r^,... r,j les racines supposées distinctes de réquation caractéristique (3) l'intégrale générale de (B) sera

y = Ce'^i^ + C, e'-^^ -h ... -h C„e'^"* (5)

où Ci, Cg,... C„ sont des constantes arbitraires. En effet, si l'on pose y = e'''-' et que l'on substitue dans l'équation (B), on tombe sur l'équation caractéristique (4). Donc e^^i^, 6*^2^,.. . e'^"*^ sont n solutions particulières distinctes de l'équation (B) et par suite, en vertu du théorème II, l'expression (5) est l'intégrale générale de (B).

On peut d'ailleurs déterminer les constantes arbitraires Cj, Gj,... C„ de façon que, pour une valeur particulière quelconque Xq de X, la fonction y et ses n — 1 dérivées prennent des valeurs données quelconques u^, u^,... u„^.

A cet effet, on substituera aux inconnues Ci, C^,... C„ les suivantes Yi, Tsv ïn liées aux premières par les relations

L'expression (3) prendra alors la forme