ÉQUATIONS LINÉAIRES D ORDRE QUELCONQUE
et, l'on aura, pour déterminer yi, Ya»--- Tn> ^^s équations
Ti -+- T2 -+- + T« = ^'0
'>\ Ti -+- '^'2 Ta H- -^ ^'«Tn = "^'i
HYi -^ î'I Y2 + + '^' ïn = "^'a ,' (■')
n" " * Yi + ^'2 " ^ Y2 -^ ^- ■''"r* Y» = w„ 1
Or, si l'on désigne par par (f (r) le quotient
on aura
et, par suite, en ajoutant les équations (7) respectivement multipliées par X^, X^, X^.^, 1,
Yi /' (^i) = \ Wq + l^^t^ -h ... -f- X„2 w„2 -}- t^,i
Cette relation donne poury^ une valeur biendéterminée puisque, la racine 7\ étant simple, le coefficient /' {i\) est différent de zéro.
On trouverait de même des valeurs bien déterminées pour les autres constantes y, ... y»-
460. Théorème IV. — Si r équation caractéristique f{r)=L{) a des racines égales, par exemple si r^ = r^=^ .,. = r^ il faut, dans la formule (5), remplacer la partie C^e^^' ^^'^ -^-Ç^^fi^i^- -h ... -1- C^e/*^ ]par
En effet, si dans le premier membre de (B) on remplace y par e''-^, on a identiquement
388 CHAPITRE XIll
d'où Ton déduit en difîérenliant successivement par rapport à r,
H- P, , ^g-^ + P„ [xe^:^ = e- [.^r (r) + /' (r)] j
Si rj est une racine simple, le second membre de (8) s'évanouit pour r = r^ ; donc aussi le premier membre, et e''i'^ est une solution de (B) ; ce qu'on savait déjà.
Si i\ est une raison double, i\ annule à la fois /(r) et /' (r), c'est-à-dire les seconds membres de (8) et de (9) ; donc aussi les premiers, et e\^ et xe'^v^ sont deux solutions de (B).
Si r, est racine triple, i\ annule à la fois /"(r), /'(/■), f" {r), c'est-à-dire les seconds membres de (8), (9), (10), et par conséquent aussi les premiers membres ; donc
e''i'^, xe'^^^, x^e'^^^
sont des solutions de (B).
En général, si r^ est une racine multiple d'ordre /«:, l'équation (B) admet les k solutions particulières relatives à cette racine
et par conséquent la solution
C, e^i^ -4- c; X é'^^^ -^ C; x^ e''^"" -H ... H c;, x^' - ^ e'"'^ ou
qui contient k constantes arbitraires. En lui ajoutant la partie
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relative aux autres racines n + j, ... r„, on obtient la solution y =: e'-i^ (c; + eu + ... -1- CU''--i) \
qui, contenant ?2 constantes arbitraires, est l'intégrale générale de (B).
On voit qu'elle se déduit de (4) d'après la règle énoncée.
461. Nous n'avons fait encore aucune hypothèse sur la nature des racines de l'équation caractéristique. Lorsque cette équation (4) a des racines imaginaires, l'expression (5) est encore l'intégrale générale de (B) ; mais elle renferme alors des imaginaires, dont il est toutefois possible de la débarrasser si les coefficients P,, Pg, ... P» sont réels, auquel cas les racines imaginaires sont conjuguées deux à deux.
Désignons par a ± p / — 1 un couple de racines imaginaires conjuguées.
Si ces racines sont simples, les termes qu'elles introduisent dans la formule (4) seront
Ce^''^ (cos ^30 -h v/ — 1 sin ^x) H- C e'^^ (cos Pa? — \/ — ■ 1 sin po?)
ou
e""^ (M cos ^x 4- N sin '^x) en posant
On peut encore simplifier cette expression en posant
M = X cos Y, N = — X sin y ce qui donne
X e"-^ cos {'^x H- y)»
X et Y désignant deux constantes arbitraires.
Si les deux racines imaginaires considérées ont un degré de
g90 CHAPITRE XIII
multiplicité égal à [ji, elles introduiront dans la formule (4) les termes
e"'* [X cos {^x -h y) -h Xj a; cos {'^x -h yJ -4- ... -i- X^ ^ a?!-^ ~ ^ cos (p^ -h Y,j^ i)]
où X, X^, ... X,jL^ et Y> ïi' ••• ïix-i sont 2\i. constantes arbitraires.
46S. Exemple : soit l'équation
d^ll àhi __ 2 ^ ,2^ = 0
L'équation caractéristique a pour racines 0, 1, 1, — 1 ±s/ — 1 ; l'intégrale générale est doac
2/ = G -h (Ci -h Q>^x) e'^ + X e-* cos {x h- y). 463. Théorème V. — Si V équation (B) est de la forme
{ax -h &)" -r-^^ -+- A, (aoj-i- &)«-^ ^— ei 4- /
+ A„. 1 (ao; H- b) ^^ -h A„ y =: 0, j
Aj, Aj, ... A^ e7a?i^ ^65 constantes, et si Von désigne par r^, Ta, ... n, les racines supposées distinctes de V équation algébrique
^ (r) = r (r — 1) ... (r — w + 1) a» -f- Aj r (r — l)...(r — n -h 2) a^-^ -h .... -i- A„t (?• — 1) a -H A„ = 0,
Vintégrale générale de (5) e^i
2/ = Cl (ao? -+- 5f 1 4- C^ (aa? + hf^ + . . . . 4- C« (a^ -h &)*'", (1 3)
Cj, C2, ... Cn e7awiJ des constantes arbitraires.
En effet, on voit immédiatement que pour que, y = {ax + hy soit une solution particulière de (5), il suffit que r satisfasse à
