ÉQUATIONS LINEAIRES D ORDRE QUELCONQUE

l'équation algébrique 'l (r) = 0. La démonstration s'achève ensuite comme au n'' 459.

464. Si l'équation 'l (r) == 0 a des racines égales, par exemple si r^ = r^ = ... = r,„ il faut dans la formule (13) remplacer la partie

Cj [ax + bY^ + C, {ax 4- bf'^ -h ... + C^{ax + b^'

par

[ax + bf^ [C; + a log (a.x ^b)-^ ... H- C; | log (ax + 6) p- ^ ] .

En eflet, si dans le premier membre de (12) on remplace y par (aa; -h 6)'', on a identiquement

/ j^„d"(ax -+- b) . , ,,„ . d'^-'^iax -\-b\

+ A„i {ax 4- b) ^ ^^"^^^, — - + An {ax + b)'' = {ax -\- bY^\ (r);

puis, on différentie successivement par rapport à r et la démonstration s'achève comme au n° 4G0.

465. Dans la pratique, il est plus commode de remarquer qu'en changeant de variable on peut ratnener le type (2) au type précédent, c'est-à-dire au cas d'une équation linéaire sans second membre et à coefficients constants.

Il suffit de poser

ax -^r- b =■ e*, ■d'où l'on déduit successivement

dy dy dt ^ dij

dx ~di dx dt '

dx'^ \ ^^ dt^""^ df' 1 dx — '' ^ \ dt^ dty

\ dt dt^ ) dx l'' dt dt- "^ dt'y

^__a22e-2. / É/^^\ ^^ ^,r^.-2t( dhj dh/\ dt dx^~ « -« (^ dt ^ df^ dx ^ ^'' ^ \~W^'cW nbo

592 CHAPITRE XIll

D'après cela, si, pour plus de simplicité, on se borne au cas de ?2 = 3, l'équation proposée

deviendra, par la transformation indiquée.

qui est bien linéaire et à coeftîcients constants.