Exemple

Soit l'équation

En posant a; h- 1 = e' on a

L'équation caractéristique a pour racines 2 et 3 ; l'intégrale est donc

c'est-à-dire, enfin,

^j = C,{x + \f -^ G,{a) + if.

ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE QUELCONQUE 593

Intégration d'une équation linéaire îi coeflieients

variables

461. Théorème VI. — Lorsqu'on connaît n intégrales particulières distinctes y ^, y^, ... yn de P équation {B), on obtient Vintègrale générale de l'équation (A) au moyen de n quadratures.

En effet :

On sait (n° 457) que, lorsque Cj, C^, ... G, sont des constantes arbitraires, la formule

dans laquelle k peut prendre les valeurs \, 2, ... n, donne l'intégrale générale de l'équation (B).

Considérons maintenant Cj, C,, ... C« comme des fonctions inconnues de x et proposons-nous de les déterminer de façon que l'expression (14) satisfasse à l'équation (A). Cette condition ne fournit qu'w^ze relation entre Ci, Ca, ... C„. On peut donc imposer à ces n inconnues n — 1 autres relations, qu'il est permis d'ailleurs de prendre arbitrairement. Nous les choisirons de telle sorte que les expressions des n — 1 premières dérivées de y offrent, dans le cas où Cj, C^, ... Cn sont des variables, la même forme que dans le cas où Ci, Cj, ... C„ sont des constantes. On emploie à cet effet une méthode connue sous la dénomination de Méthode de la variation des constantes arbitraires.

Cl, C2, ... C„ étant considérées comme variables, la différentiation de l'expression (14) donne

dx Si donc on pose

c'est-à-dire, si l'on égale à zéro l'ensemble des termes qui

Calcul infinitésimal 38

594 • CHAPITRE XllT

renferment les dérivées ^ , -^ ... j^, on aura, pour la dérivée de y, l'expression

dy ^ p c?C

6v Jb ^ggsa CtJu

dont la forme est la même que dans l'hypothèse où Cj, C^, ... d. sont des constantes.

De même, la différentiation de l'expression (16) donne

d'y ^ C ^^' -+- V ^' --dx^ ^ ^ dx^ jZj dx dx '

si donc on pose

.^ dx dx ^ ^

on aura, pour la dérivée seconde de y, l'expression

dont la forme est la même que dans le cas où Ci, Cj, ... C„ sont des constantes.

En continuant de la sorte, on obtiendra les n — 1 relations cherchées

2<^C/i A x" ^yi' ^^i' A V ^"~^yft ^^ — f] r\r\\ y^~d^—^' Zi'd^'d^'-^"" Z^dx^-'-'dx — '' ^'^^

et, en même temps

y=2u^ ?/„ ^- — 2j '"^ '(1^" ' ■ ■ ■ dx-^-^ ~ Zd ^^ dx^-' ' ^ "^

Il reste actuellement à écrire la condition que nous avons énoncée en premier lieu et qui consiste en ce que l'expression (14) doit satisfaire à l'équation (A). Dans ce but, on différentiera la dernière des équations (20), ce qui donne

dx'^ ~~Zi " daf^ Zà dx''~^ 'dx ' '^" '

EQUATIONS LINEAIRES D ORDRE QUELCONQUE 59b

puis, l'on portera les expressions (20) et l'expression (21) dans Féquation (A), en a3^ant égard, dans cette substitution, à ce que y y, y^^ "• yn sont des intégrales de (B). On obtient ainsi la relation

dx'^~'- dx

qui, avec les relations (19), forme un système de ?% équations du premier degré à n inconnues

dC^ dx '

dLin

dy, dy^ dx ' dx

dyn

dx''-^' dx"-^ ■

d'^-hjn " dx""-^

Ce système est d'ailleurs compatible, puisque les fonctions Vïi y 21 ••• Uni étant distinctes par hypothèse, le déterminant

An =

est différent de zéro. Les équations (19) et (22) fourniront donc pour chacune -^ des inconnues (23) une valeur X/, bien déterminée et fonction de x. On aura donc

c^C, = X/, dx d'où C, = / X/, dx + Y/ij ^^) et par suite

i/=y ^'^Cï/^^ / ^kdx)

C'est l'intégrale générale de (A), puisqu'elle renferme n constantes arbitraires y^, y2) ••• Y»i« ^^i ^^"^^ qu'on l'obtient au moyen des n quadratures (24).

596 CHAPITRE XIU

468. Un cas particulier fort important est celui où les coefticients Pj, Pg, ... Pn de l'équation (A) sont constants, le second membre Q étant seul fonction de x.

On connait alors n intégrales particulières de l'équation (B) puisque (B) a dans ce cas ses coefficients constants. Ces n solutions sont

fj, r^, ... l'n étant les racines de l'équation caractéristique (n° 459).

L'intégrale générale de l'équation (A) s'obtient donc (n° 467) au moyen de n quadratures.

Voici un exemple :

Soit l'équation différentielle

où fj et ^2 sont des nombres donnés, tandis que Q est une fonction donnée de x.

Les racines de l'équation caractéristique sont ici n et r^, et l'on a

dC dC Les équations du premier degré qui déterminent y-* et -j-^

sont donc

gj-jar dtri^ ^r,a; dL^ q

Elles donnent

ofa? rj — Tg ' dx r.^ — r^

ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE QUELCONQUE

d'où l'on déduit

Qe-''^''dcc, C,

Qe-'^^-'^cLv.

L'intégrale générale de Fécfuation proposée (26) a donc enfin pour expression

^ e''2^ I Qe- ''2^ dx — é'^^ foe- ^'i^ dx .27

les deux intégrales indéfinies étant supposées renfermer chacune une constante arbitraire.

Lorsque r^ est égal à ri, l'expression (27) se présente sous

la forme k- Pour avoir la vraie valeur de l'intégrale, on appliquera la règle de Vliospilal (n° 189, tome 1), en différentiant le numérateur et le dénominateur par rapport à r^, puis faisant 7'2 = î'j. On trouve ainsi

Qe-'-ia;__ / QQ-r,x^^ijç

469. Théorème VIL — Lorsqu'on connaît une intégrale particulière y de V équation (A), on obtient Vintégrale générale de cette équation en ajoutant la solution y à Vintégrale générale de (B).

En effet, si l'on fait dans (A) la substitution

on obtient la relation

dx^ "^ ^ dof'-'' d"z p (i»~^ z

c?Y dx

598 CHAPITRE xin

qui, puisque y satisfait à l'équalion (A), se réduit à

& + ^^ f7^^ "^ - "^ ^"-' dx + ^'^'^ - ^' laquelle n'est autre que l'équation (B).

4'70. L'intégrale générale de (A) a donc la forme

2/ = C,2/, H- C.y, + ... + ^nVn + Y, (28)

Y étant une solution quelconque de l'équation (A). 11 suit de là que \ équation linéaire n admet pas de solution singulière. En effet, une solution quelconque y = y se déduit de l'intégrale générale (28) en y faisant Ci = Cj = ... = C„= 0.

471. Nous avons considéré au n° 468 le cas où, dans l'équation (A), les coefficients P^, P2, ... P,î sont constants tandis que le second membre Q est une fonction de x ; et, nous avons vu que l'intégration exigeait n quadratures.

Le théorème VII permet d'éviter ces quadratures lorsque le second membre Q revêt l'une des trois formes

Q =: ^ (a cos \ix + P sin \ix) ; (31)

car, dans chacune de ces hypothèses, on peut trouver immédiatement, pour réquation (A), une solution particulière ayant la même forme que l'expression de Q et dont on détermine les coefficients (c'est-à-dire les quantités désignées ci-dessus par des lettres grecques) par la méthodes des coefficients indéterminés .

Celte intégrale particulière étant obtenue, on l'ajoutera (n° 469) à l'intégrale générale de (B).

Voici des exemples relatifs à chacune des trois formes de Q.

1° Soit l'équation différentielle

^^-y=ax^ + ^X^-^'iX-\-o. (32)

ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE QUELCONQUE 599

Posons

Y = A^3 -t- Bx^ -h Cx + D, (33)

et substituons cette valeur à la place de y dans l'équation proposée (3). En ordonnant par rapport h x ei égalant à zéro les coefficients des diverses puissances de x, nous aurons les relations

A + '/ = 0, B + p = 0, GA — C — Y = 0, 2B — D— 8 = 0,

d'où l'on tire

L'intégrale particulière demandée est donc

Y = — aa;^ — ^x- — (6 a + y) a; — (2 p + S). 2" Soit l'équation différentielle

où Pi, F\, ... P„i, P„ sont des constantes. En posant

Y = Ae^'^ (35)

et substituant dans (34), on aura pour déterminer A la relation

c'est- à-dirCj, en désignant par f{k) = 0 l'équation caractéristique,

Af{k) = a d'où A = -^j--.

La solution particulière demandée est donc

600 CHAPITRE Xlll

La méthode est en défaut lorsque k est une racine de l'équation caractéristique ; il convient alors d'appliquer la méthode générale (n" 468).

3° Soit enfin l'équation différentielle

^ -1- V = cos \ix. (37)

En posant

Y = A cos \^x (38)

et substituant dans (37), on obtient

— A cos Ka? iK^ — 1) = cos ^s.x, d'où A = rmiP»

et la solution particulière demandée est

La méthode est en défaut lorsque K est égal à 1 ou à — 1. Il convient alors d'avoir recours à la méthode générale (n° 468) ; on trouvera ainsi

Cf-^i • (Xj Slïl OG cos X -^ \J sin X -\ ij —

pour l'intégrale de

~-^ -f- ?/ = cos X dx/ ^

Abaîsseiiieiit de Tordre d'une équation différentielle linéaire

472. Si l'on connaît n intégrales particulières distinctes de l'équation i^B), on peut (n° 467) intégrer l'équation (A) c'est-àdire ramener son intégration à la recherche de n quadratures, n étant l'ordre des équations différentielles (A) et (B).

ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE QUELCONQUE 601

Il n'en est plus ainsi lorsqu'on connaît seulement m intégrales particulières distinctes de (B), m étant inférieur à «. Mais on peut, dans ce cas, profiter de la connaissance de ces m intégrales pour abaisser de m unités l'ordre des équations (B) et (A), sans changer leur forme linéaire ; tel est l'objet du théorème suivant :

473. Théorème VIII. — Lorsqu'on connaît m intégrales 'particulières distinctes de (B) on obtient rintégrale générale de (A), et à plus forte raison celle de (Bj, en déterminant Vintégrale générale d'une équation linéaire d'ordre n — m et opérant ensuite m quadratures.

Nous prendrons n = 5 et m = 3, pour abréger les écritures, sans altérer la généralité du raisonnement.

Soient donc y^, 2/2. î/s 1^^ solutions particulières de (B). Si Cj, C2, C3 sont des constantes, l'expression

î/ = C,yi-f-C2 2/2-hG3 2/3 (40)

sera encore une solution de (B) ; mais, si l'on y considère Cl, Cg. C3, comme des fonctions inconnues de x, le second membre pourra évidemment représenter une fonction quelconque de X et en particulier l'intégrale générale de (A).

La condition imposée à l'expression (40) de satisfaire à l'équation (A) ne fournit (\\iune relation entre les fonctions Cl, C^, C3 ; on peut donc imposer à ces inconnues deux autres relations^ qu'il est d'ailleurs permis de prendre arbitrairement. Nous les choisirons de telle sorte que les expressions des deux premières dérivées de y offrent, dans le cas où Ci, Gj, C3 sont des variables, la même forme que dans le cas où Ci, Cj, C3 sont des constantes. A cet effet on opérera comme il suit :

Cl, C2, C3 étant considérées comme variables, la différentiation de l'expression (40) donne

dy ^ dy, ^ dy, ^ dy. dC, dC^ dC,

si donc on pose

ttLi, ttLio «(jo j-v ifi

on aura, pour la dérivée de y, l'expression

dx ^ dx ^ dx ^ dx ^ ^

dont la forme est la même que dans l'hypothèse où Ci^ Cj, Cg sont des constantes.

De même, la différenliation de (42) donne

d^U—r ^LËi < r -'!^^ -^ r ^-^^ , dy, dC, dif, dC.2 dy., dC, . dx'^ ~ * dx- "^ ^ dx" ^ 'dx^ dx dx ~^ dx dx'^ dx dx '

si donc on pose

dy^ dC, ^ djh dC^ ^ dy, dC, ^^ (43)

dx dx dx dx dx dx '

on aura pour la dérivée seconde de y, l'expression

dx' ~ ' dx^ ^ ^2 ^^2 -+■ ^8 ^^2 i^*;

Il reste actaellement à écrire que l'expression (40) doit satisfaire à l'équation (A). Dans ce but, on difîérentiera i?'ois fois de suite l'équation (44) ce qui donne

dx' ~

dhj ^ dhj, ^ dhj,

■ ^1 dx' ^ ^' dx' ' ^' dx' ^ ^'

fy dx''

dhj, ^ dY ^ dhj, du

dhj dx""

P «^'2/i , r c^lVo , r d''y, du, dhi

«n posant

c?2y. dc, ^ dh,, dc, ^ dhj, dc, ^^

dx^ dx . dx^ dx dx"- dx

dhj, dC, d'y, dC, d'y^ dC, ^^ dx' ~dx dx'' dx dx' dx '■

dhj, dC, dhj, dC, dh,, dC, ^^ dx'' dx dx'- dx dx^ dx ^'

Cela fait,- on portera dans (A) les valeurs (40), (42), (44), (45),

EQUATIONS LINEAIRES D ORDRE QUELCONQUE 603

(45% (45") àey,^^,^„^„^i,^,,et\ équation provenant de cette substitution se réduira à

Mais le système formé par les équations (41), (43), (46') est -compatible, puisque par hypothèse le déterminant A3 est différent de zéro. Il donne pour les inconnues -r^, -r- S -^ des valeurs bien déterminées et de la forme

Xj, X^, X3 désignant des fonctions connues de x. D'autre part, les équations (46'), (46") donnent

Ui = Z^u , u.-^ = Zg u

Zi et Zi étant aussi des fonctions connues de ^ ; et la substitution de ces expressions dans (A^) fournira pour déterminer u, l'équation linéaire du second ordre

dhi

(2^-^p^)Ê+(^^^S.-^p^^^ + pO''=^ ^^'^

Donc, en définitive, on déterminera d'abord l'intégrale générale de (Ag), qui contiendra deux constantes arbitraires; puis on aura Cj, Cj, C3 par les quadratures

Ci^Yi"^ / XiMc?a;, 0^=72+ / ^iUdx,QA.^—-{^-^- f X^udx (E,)

qui introduiront trois nouvelles constantes arbitraires ^i y. 2 Ys- En portant les valeurs (Ej) dans (40), on aura l'intégrale de l'équation proposée (A), qui renfermera d'ailleurs cinq constantes arbitraires.

604 CHAriTRE XIII

4Î'4. Considérons le cas où m = 1 c'est-à-dire où l'on ne connaît qu'une seule intégrale ij^ de l'équation (B). On posera alors, au lieu de (40),

Cj étant une fonction inconnue de x qu'on déterminera par la condition que cette expression (40') satisfasse à l'équation (A). A cet effet, on calculera les dérivées successives de?/ à l'aide de la formule de Leibnitz (tome I, n'^ 88) relative aux dérivées des divers ordres du produit de deux fonctions de x\ puis, on substituera?/ et ses dérivées dans Téquation (A). On obtient de la sorte

Q = V„C,-f- V, ^ + ^^^^ + ... + j-^—^^ -^--S (47) les coefficients Vo, Vi, ... V„ ayant pour expression

^'-1^'-^^' d^-~'~ "^ - "^ ^"-^ dx ^ ^"^' V «^'-!.ï.i^r.o nP ^IVi^ ^p.. ^dy.

^. + (« -1) p. "55iri; + ... -^ P,.-,^ + P,.-,y., n —

V„ = n(;e — 1) 3.2.1. yj.

Mais Vo est nul puisque par hypothèse ?/i est une solution de (B), et si l'on pose

dx l'équation (47) se réduit à

qui est une équation diiïérentielle linéaire d'ordre 7i — 1. On a donc ainsi abaissé d'une unité l'ordre de l'équation proposée.

ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE QUELCONQUE 605

L'équation (49) étant intégrée, on aura

Cj = Y -H / zdx

et par suite l'expression

sera l'intégrale générale de (A) puisqu'elle renferme n constantes arbitraires qui sont la constante y et les (n — 1) constantes contenues dans z.

Le beau théorème Vtll ainsi que la démonstration que nous en avons donnée sont dus à Lagrange; la méthode introduite à cette occasion, dans rAnal3^se, par l'illustre géomètre a reçu, avons nous dit (n° 467), le nom ào. Méthode de la variation des constantes arbitraires . Nous avons cru devoir y insister (n°^ 467, 473, 474) à cause de sa fécondité et de son élégance.

Traiisforiîiailons diverses

475. La théorie que nous venons d'exposer fait ressortir l'avantage qu'il y aurait à savoir trouver des solutions particulières de l'équation sans second membre (B). Malheureusement, en dehors des cas traités aux n°s 459 et 460 et de la méthode d'intégration par les séries dont il sera question plus loin, on ne connaît, pour les recherches de ce genre, aucun procédé offrant quelque généralité.

Le mieux alors consiste à opérer des transformations telles que l'équation nouvelle laisse apparaître des solutions particulières.

Parmi ces transformations, l'une des plus connues est la suivante

606 CHAPITRE Xlll

que nous avons déjà étudiée aun° 441. Elle permet d'abaisser d'une imité l'ordre de toute équation qui est homogène par rapport à ij et à ses dérivées. Elle s'applique donc en particulier aux équations linéaires sans second membre ; seulement la nouvelle équation jiest plus linéaire.

Mais si l'on peut trouver, n'importe comment, une solution de l'équation transformée, on aura par là même une solution particulière de la proposée (B) et le but sera rempli.

Soit, par exemple, l'équation

dx^ X dx x^ La transformation indiquée donne

du , 1 / 1\ f.

dx X \ X^

elle n'est pas linéaire ; mais on aperçoit immédiatement

que - est une solution particulière ; par suite, la proposée

ndœ

admet la solution e ^ onx, ce que l'on pouvait voir directement. D'ailleurs l'équation proposée rentre dans le type (12) que l'on sait intégrer.