La même transformation (50) appliquée à l'équation
3 = K^"2/ (Si)
donne
h ^^^ = Kj»" :
dx
c'est une équation de Riccati (n° 382).
Réciproquement, si l'on applique à l'équation de Riccati
Il -h hif = ex-,
EQUATIONS LINEAIRES D ORDRE QUELCONQUE 607
la transformation
1 du
•^ bu do:''
due à Euler, on tombe, en posant hc = K, sur l'équation (51) qui est commode vu sa forme à la fois binôme et linéaire.
Propriétés de l'équation linésiîre du secoiifl ordre sans second membre
4T7. Il résulte du n° 474, où l'on fait n = 2 et Q = 0, que l'on peut trouver l'intégrale générale de l'équation
dès qu'on en connaît une solution particulière ?/i c'est-à-dire une expression y^ telle que l'on ait
A cette méthode générale on peut substituer un procédé dû à Sturm et remarquable par sa simplicité et son élégance. Voici en quoi il consiste :
En éliminant P, entre les deux relations précédentes, on obtient
•^* dx^ ^ dx^ ^ Y^ dcG ■^ dx ) '
Puis, si l'on pose
du dy^ ., , d^y d-y^ du
y^ dx -^ dx ' ^ dx^ ^ dx^ dx
l'équation devient
-j — hPiii = 0, d ou ii^=\:e -' ^
c'est-à-dire
que l'on peut écrire
ce qui donne
pour l'intégrale demandée.
478. Un très grand nombre de problèmes relatifs à la Physique mathématique conduisent à des équations différentielles de la forme (52). On ne sait intégrer une telle équation que dans un fort petit nombre de cas particuliers, et lors même qu'on possède l'expression, sous forme finie, delà fonction qui satisfait à l'équation considérée, il est le plus souvent très difficile de reconnaître d'après cette expression la marche et la propriété caractéristique de cette fonction.
Mais on peut arriver à ce but par la seule considération de l'équation différentielle sans qu'on ait besoin de son intégration. Celte recherche a fait l'objet d'un mémoire justement célèbre publié par Sturm dans le journal de Lionville (tomel, 1833). Nous ne saurions ici analyser même succinctement ce travail considérable. Nous nous bornerons à reproduire presque textuellement la partie que le grand géomètre avait cru devoir introduire dans son Cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique.
