Considérons la relation

1° La constante C étant, en général, différente de zéro, nous la supposerons positive ; on aura alors

^ ji -Vj ^ 0. (55)

dx "^ dx

EQUATIONS LINEAIRES D ORDRE QUELCONQUE 609

du Donc la fonction y et sa dérivée -^ ne 'peuvent être nulles

simultanément.

La même propriété appartient aux fonctions y^^ et -j—.

2° Deux valeurs de x qui annulent y^ comprennent une valeur de x qui annule y. En effet, si ?/i s'annule pour x = a et pour X = b, on aura dans l'un et l'autre cas, d'après l'inégalité (35),

Donc y et -r- ont des signes contraires. Mais, quand x croit

de a à h, -, ' change de signe pour une certaine valeur ^ = a ;

donc y doit aussi changer de signe avant que x n'atteigne b. Par suite, la fonction y s'évanouit pour une valeur de x comprise entre a et b.

De même, entre deux valeurs de x qui annulent y se trouve une valeur de x qui annule tj^.

3<^ Il résulte de là que, si Von fait croitre x, les deux fonctions y ety^ s'annuleront, l'une après l'autre, alternativement.

Il est aisé de vérifier ces résultats sur l'équation

dont l'intégrale générale est

î/ = G sin X -\- CI ces oc.

Procédé d'intégration par les séries

480. Il existe une méthode d'intégration excessivement puissante, quoiqu'elle doive être pratiquée avec précaution, et dont le principe est des plus simples. Désignons par

Calcul infinitésimal 39

r.équation différentielle, et cherchons, comme intégrale, une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de œ — x^'y elle aura la forme

?'. étant un nombre entier ou fractionnaire, positif ou négatif. En fait, on pourrait essayer des séries infinies dans les deux sens, ou des séries dont les exposants contiendraient plusieurs exposants fractionnaires se succédant suivant une loi quelconque ; mais nous excluons volontairement de pareilles séries et nous nous limitons au type (57). On substituera la série (ol) dans l'équation (36) et, en exprimant que cette équation est identiquement vérifiée, on aura des identités qui détermineront r, a^, tty, «2, ...., pourvu que l équation proposée admette effectivement une intégrale de la forme (37).

11 est essentiel de remarquer qu'il ne suffira pas d'avoir déterminé les coefficients ; il faudra encore s'assurer que la série obtenue est convergente dans un certain domaine, faute de quoi la solution serait illusoire. Nous donnerons bientôt des exemples des deux espèces ; mais nous ferons d'abord quelques remarques.

481. Si des séries de la forme (37) ne conduisent à aucun résultat, on pourra essayer des expressions telles que

Ti (^) Si {x) -1- cp, [x] S^ (^) -I- ... + ?y {x) Sp {x),

où les Si [x) sont des séries du tj^pe (37), tandis que les fonctions cj>j, '^25 ••• sont des fonctions connues, telles que logarithmes, exponentielles ordinaires, exponentielles à exposants polynômes ou à exposants séries, etc. Nous aurons bientôt l'ioccasioa de faire un pareil essai.

482. Dans le cas où l'équation (36) est linéaire et sans second membre, on a obtenu, depuis une trentaine d'années, d'importants résultats dont nous dirons quelques mots.

ÉQUATIONS Llx\ÉA.lRES d'oRDRE QUELCONQUE 611

Soit

l'équation donnée; on suppose que les coefficients jo^ sont des fonctions uniformes de la seule variable x dans un certain domaine et qui n'ont pas d'autres points singuliers que des pôles. En un point 5?o, qui est ordinaire pour tous les coefficients p, on peut se donner arbitrairement la valeur d'une intégrale et de ses m — 1 premières dérivées. L'équation différentielle fait connaître la dérivée m''^'"^ et, par dilïérentiation, toutes les dérivées suivantes, et l'on sait que l'intégrale est parfaitement déterminée.

Cela posé, considérons un sj^stème de m intégrales indépen- -dantes, déterminées chacune par leurs valeurs initiales pour x =: Xç^ et par celles de leurs m — 1 premières dérivées ; une intégrale quelconque sera de la forme

.?/ = Gi ?/i + C, y, -1- . .. + C„, ij,,

-et elle sera évidemment holomorphe dans un certain cercle r ■décrit autour de x\ comme centre, puisque les m intégrales z/j, 2/2, ... i/ra le sont. Gomme on peut répéter le même raisonnement autour de tout point qui n'est pas singulier pour les/?i, il en résulte que les intégrales d'une équation linéaire n'ont pas d'autres points singuliers que ceux de leurs coefficients.

488. Considérons par exemple l'équation dite de la série hypergéométrique ou équation de Gauss.

qui est du type précédent si on divise tous ses coefficients par ^(1 — .t). Les intégrales ne peuvent avoir comme points singuliers que les points ^ = 0, a: = 1 et l'infini.

612 CHAPITRE Xlli

Nous poserons, pour l'intégrer,

en égalant à zéro le terme du plus faible degré, nous obtenons l'identité

r{r — 1) H- Y>' = 0 ou

d'où deux valeurs pour r

Pour obtenir les coefficients, nous aanulerons le terme en oc''' + p^ ce qui donne la relation récurrente

on pourra ainsi calculer les coefQcients a,, en fonction du premier. Soit flo = 1 ; si r = 0, on trouve comme première solution une série célèbre connue sous le nom de série hypergéométrique^

"^ 1.2. .3 ...29.y(y+1) ... (y-HP— 1) "^■••]

Cette série, entière, est convergente dans le cercle de rayon un comme on le vérifie aisément, et comme on devait le prévoir d'après le n" précédent.

Si r = 1 — Y» 011 trouve une seconde solution, en général indépendante de la première, qu'on peut écrire

y, = o^-^ F (a — Y -f i, P — Y 4- 1, 2 — Y, ■^), le symbole F désignant, comme ci-dessus, une série hyper-

ÉQUATiONS LINÉAIRES d'oRDRE QUELCONQUE 613

géométrique convergente dans le cercle de rayon un décrit autour de l'origine. L'intégrale générale sera donc

2/=-- Co^o +Ciî/,. ■ (61)

484. La série y^ et celle qui est en facteur dans ?/i ne sont convergentes que dans un cercle de rayon un décrit autour de l'origine. Si la variable sort de ce cercle, le problème n'est pas encore résolu. Posons

l'équation devient

X(i - X) g + [i (a + p -I- 1)X] ^ - apy = 0,

en posant

c'est une équation hypergéométrique qui admet pour intégrale générale, d^ et dj désignant des constantes arbitraires

l'équation proposée admet donc l'intégrale

^0 F (a, P, a + p 4- 1 — Y, 1 — x) -+- di{\ — xf~''~^-' F(y — p, 7 — a, Y — a— P -+- 1, 1 —■3^).

Cette solution n'est valable que dans un cercle de rayon un décrit autour de la nouvelle origine, c'est-à-dire autour du point X = i.

485. Pour trouver les solutions convenant aux points du plan situés en dehors des deux cercles précédents, nous ferons dans l'équation (39)

X / j V oc As •

614 CHAPITRE Xlll

elle devient

dx'

X'{\ ^-x') ^ H- y - (« + p' + 1)^'] ^, - ap'^ = 0

iG3)

en posant

On a une nouvelle équation de Gauss qui a pour intégrale générale

f,F{a,^',Y,œ') \ A^/^-^FCa-Y'-l-l, P'-t' + 1,2-y',^'>

valable si ] a?' | < 1. En revenant à la première équation, on voit qu'elle aura pour intégrale dans la région où j a? | est plus grand que l'unité

f^ et fi étant deux constantes arbitraires.

486. On aurait pu trouver directement l'intégrale précédente en essayant dans (59) un développement ordonné suivant les puissances descendantes de œ tel que

En annulant les termes du plus haut degré, on trouve

— r (r + 1) 4- (a + [3 + 1) 7' — ap = 0 OU

les ternies en x "''~^' donnent l'identité

EQUATIONS LINEAIRES D ORDRE QUELCONQUE 618

On retrouve ainsi, en faisant successivement r= «et r == 1^, les deux intégrales particulières

48T. On voit que, dans le cercle de rayon un qui a pour centre le point .a: = 1, il y a des points extérieurs au cercle de rayon un décrit autour de l'origine. Nous avons donc trouvé pour ces points deux formes différentes de l'intégrale générale, (62) et (63). En exprimant que ces deux expressions sont identiques pour deux points différents, on pourra calculer les deux constantes arbitraires f^ et f^ en fonction de d^ et de d^. On réalisera de la même manière la coïncidence pour leur domaine commun des développements valables dans les deux premiers cercles.

488. \^ intégration est maintenant achevée. Mais il importe d'insister sur le nouveau sens cju'a pris ce mot au cours de notre recherche. Nous nous étions proposé d'obtenir, sous formes de séries, deux intégrales particulières indépendantes qui, substituées à z/ dans 1 équation (36), y satisflssent identiquement. Or, limité à ces termes, le problème n'a pas été résolu : nos séries ne sont valables chacune que dans un domaine déterminé et, pour faire correspondre à toute valeur de X la valeur la plus générale de ij, il n'a pas fallu moins de trois couples de séries, de sorte que ce n'est plus une fonction, mais un ensemble de fonctions qui constitue la solution générale. Désormais c'est dans ce sens qu'il faudra entendre le mot intégrer ; le problème sera considéré comme résolu lorsqu'on aura fait correspondre à toute valeur réelle ou imaginaire de la variable une fonction (ce sera généralement une série) qui d'ailleurs pourra avoir des formes très diverses suivant les domaines où se déplacera la variable. Il faudra seulement savoir passer de la forme qui convient à un domaine à celle qui convient au domaine contigu ; c'est ce qui s'appelle prolonger analgtiquement la fonction qui convient au premier domaine, parce que, jusqu'à présent, on n'a étudié, comme solutions que des fonctions analytiques.

489. Un problème particulièrement délicat lorsqu'on aura intégré une équation différentielle, au nouveau sens du mot, sera celui qui consiste à reconnaître si les fonctions intégrantes sont de nouvelles fonctions ou s'obtiennent par des combinaisons de fonctions connues. C'est ainsi que le plus beau titre de gloire d'Abel et de Jacobi est d'avoir découvert la double périodicité des fonctions elliptiques, qui se présentent comme quotients de deux séries simplement périodiques, et d'avoir ainsi définitivement clos les recherches qui avaient pour objet de les exprimer en fonction de quantités déjà étudiées.

Le second résultat dans cet ordre d'idées est dû à M. Painlevé qui a réussi à prouver que les intégrales des équations du second ordre ramenées par lui au type

y" = Qy^ + 00

constituent une catégorie nouvelle de fonctions, irréductibles par des opérations algébriques ou de différentiation aux fonctions antérieurement connues. Nous énoncerons sans démonstration le résultat auquel est arrivé ce savant géomètre : sil'on pose

la fonction ti (j) vérifie l'équation du troisième ordre

elle est développable en une série de Mac-Laurin qui converge quel que soit x, et les coefficients de cette série se calculent par des dérivations successives ; enfin l'on a

, - d- log u u'^ — uit"