Revenons à l'équation de Gauss (59). Nous avons

EQUATIONS LINEAIRES D ORDRE QUELCONQUE 617

donné deux intégrales particulières que nous avons désignées par les notations

Vo = F (oc, p, ï, x)

Dans le cas où y est un nombre entier, on n'a plus deux intégrales ; la première devient illusoire si y est un entier négatif, et la deuxième si y est un entier positif. Supposons par exemple que Y soit un entier négatif — n, l'intégrale y^ subsiste : pour en trouver une seconde, nous essaierons un développement de la forme

H- {h^x'- -f- by x''+^ H- ... -h hj,x''-^i' -\- ...) log x\ ' *-^

Le terme du plus faible degré qui contienne log x en facteur sera celui en a;'-"* log x; en l'annulant, on trouve

ce qui donne deux valeurs pour r. Soit r = 0. Le terme en ^j-i(jonne alors ô^ = 0. En annulant ensuite les termes en

aj'-i- p et en x^' + i' log x^ on trouve les deux égalités

(p -4- i) (p -+- y) CCp + y—(P+ a) (p -^ P) «i-

+ (2p -M -h y) K^,-i2p-ai-^)b, = 0) (^^^

La première égalité montre que les coefficients bp seront nuls, tant que p n'aura pas atteint la valeur n = — y- Si jo = 71, la deuxième égalité se réduit à

(n -!- 1) &„ + i = (?i — a) (n -h p) an

et l'on peut se donner a„ arbitrairement.

Pour les valeurs de p supérieures à 7i, les égalités (65) et (66) feront connaître les coefficients b^^^ eta^, + j en fonction des précédents. Tous les coefficients des deux séries seront donc déterminés en fonction de «0 el de an qui restent arbi-

618 CHAriTRE XIll

traires. A partir du rang n, les coefficients de la série multipliée par log x suivent la même loi que ceux de la série hypergéométrique, et, par conséquent, cette série est convergente dans le cercle de rayon un. L'autre série l'est aussi dans le même cercle ; mais nous n'insisterons pas sur cette propriété qui résulte du théorème de M. Fuchs dont nous allons bientôt donner Fénoncé.

491. Donnons d'abord une définition. Supposons qu'une équation différentielle admette une intégrale de la forme

So {œ) -h Sj [x) log X -h S2 {x) log2 a? + ... -h S„ {x) log'' x, (67).

dans laquelle S^ [x), Sj {x) .... représentent des séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de lavariable et limitées du côté des puissances négatives : l'intégrale sera dite régulière.

49S. Cela posé, voici le théorème de Fuchs : Pour que l'équation

ait toutes ses intégrales régulières, il faut et il suffit que les fonctions de x représentées par les coefficients Aj, Ag .., n aient pas de pôles dont le degré de multiplicité soit supérieur à leur indice.

Supposons la condition remplie : on posera, pour les points voisins de l'origine,

La oiî les valeurs de r s'obtiendront en égalant à zéro les termes du plus faible degré ; on obtiendra ainsi une équation qu'on appelle l'équation déterminante. Si cette équation a toutes ses racines distinctes et ne différant pas entre elles par

EQUATIONS LINEAIRES I> ORDRE QUELCONQUE G19-

des nombres entiers, la solution sera assurée par des séries de Maclaurin ou de Taylor, multipliées par une puissance positive, négative ou nuUedea?. Sil'on peut associer m racinesde manière que la différence de deux quelconques d'entre elles soit zéro ou un nombre entier, il faudra essayer des développements delà forme (67). 11 pourra arriver que, dans le calcul^ quelques-uns des termes logarithmiques disparaissent idehtiquement.

493. Il n'est pas inutile de montrer par un exemple que la méthode d'intégration par les séries peut devenir illusoirelorsque les conditions de Fuchs ne sont pas remplies. Dans l'équation

dx- dx

substituons

y = «0 + ayx -\- .... 4- a^ x'" H- . . . . On trouve immédiatement la relation récurrente

qui permet de calculer tous les coefficients «,„ en fonction du premier ; mais la série obtenue est divergente pour toutes lesvaleurs de x, car le rapport de deux termes consécutifs,

«m 4- 1 a) = — B +m(m— 1) ^ am {m + 1)A '

devient infini pour m = oo ; quel que soit x.

494. La série hypergéométrique intervient dans un grande nombre de problèmes. Tout d'abord, on ramène aisément, par un changement de variables, à la forme sous laquelle nous avons étudié son équation différentielle toute équation du. type

[a + bx + cx^) g + (^-i- gx) %-^ hy = 0.

620 CHAPITRE XIU

495. Nous terminerons ce chapitre par quelques exemples empruntés pour la plupart aux applications industrielles modernes de la Physique ou delaMe'canique. Le premier exemple se rapporte aux équations linéaires à coefficients constants.

Soient ^ et — q les quantités d'électricité dont sont chargées les deux armatures d'un condensateur, Il la résistance du fil conducteur par lequel on réunit les deux armatures, C la capacité du condensateur (on néglige celle du fil), L la self-induction du circuit.

L'intensité du courant de décharge est donnée par la formule

di et l'on a, en vertu de la loi de Ohm,

c dt

d'où l'équation différentielle linéaire à coefficients constants

Ici deux cas sont à distinguer.

1° L'équation résolvante

a ses racines a^ et a^ réelles. L'intégrale générale est alors

Aj et A2 étant des constantes arbitraires. Comme a^ et aj sont négatives, la quantité d'électricité diminue d'une manière continue avec le temps.

2° Les racines de l'équation résolvante sont imaginaires, soient — p -h y^ et — p -h 72, on aura alors, en désignant par Bi, Bo, deux nouvelles constantes.

g T= e~P* (Bi cos ^{i -\- B2 sin y^).

ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE QUELCONQUE 621

La décharge se compose d'oscillations périodiques de période

496. Voici deux exemples où l'équalion de Gauss apparaît un peu plus difficilement. Le premier nous a été signalé par M. Jean Résal^ le savant constructeur des ponts Mirabeau et Alexandre,

■ ^ TCix!/ et "If » £>

p dx- "^

pour l'intégrer, nous poserons

m = — ~ , t = sin — , y = z t

a (a — i^ -\- m = 0, et enfui t- = u. Nous serons ainsi ramenés à la forme

ft \ d-z r 1 , .. -\ àz ^ m — a ^

uiS-u) -^ + l^a + 2 - (a + 1) ..j ^ + - --Ç- Z = 0

qui s'intègre par la série hypergéométrique, comme on vient de le voir.

La deuxième équation a été rencontrée par Halphen

Si l'on pose

on retrouve l'équation de Gauss, qui admet l'intégrale particulière

^22 CHAPITRE Xlll

497. Considérons encore une plaque circulaire encastrée -sur son pourtour et soumise à l'action d'une force normale passant par son centre.

On démontre dans les traités de Résistance des matériaux ■que la plaque prend la forme d'une surface de révolution dont la méridienne a pour équation

-tf étant l'angle de la normale à la surface avec l'axe en un point dont la distance au centre est^.

L'équation précédente, sans le second membre, peut se ra- , mener à l'équation de Gauss (n° 494) ; on peut aussi employer la méthode du n° 463 ; mais il est aussi simple de l'étudier directement.

L'équation déterminante relative à l'équation sans second membre est

ses deux racines — 1 et 4- 1 ayant pour différence un nombre entier, il y aura lieu d'introduire un logarithme. On trouve alors aisément que l'intégrale de l'équation avec second membre est