OG
Pour déterminer les constantes arbitraires, on fera x = 0 et ■X = r, ce qui donne
C = 0 , B = ^logr.
498. Nous donnerons encore quelques exemples d'intégration, non plus parla série hypergéométrique, mais par une série quelconque, pour bien faire ressortir l'intérêt que cette méthode présente pour les ingénieurs.
499. Une banquise de glace circulaire chargée, en son milieu, prend la forme d'une surface de révolution dont la méri-
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dteiine a poar équation (Herlz, Gesammelte Werke, tome I®"^ page 228).
ri ry^^- ' 'y% ri ^-^-i nn^ ri nr^ -i-*'-^ ri nn ■/
dx^ X dx"^ x^ dx^ x'^ dx
Les conditions de Fuclis sont remplies etTéquation détermininte est ici
Elle a deux racines nulles, et deux racines égales à 2. Pour intégrer l'équation (68), il faudra alors essa5^er un développement de la forme
a^ -^ ai X -\- a., x'^ -^ ...-{- {b^^ -\- h^ x -h ...) log o: H- (ç2 x^ H- C3 x'^ H- ...) log- X -\- (d^ X- H- ...) log'^ X.
En égalant à zéro les termes en
^y 4^ xi' — ^\o^x, o:!'-'' \og~x, xi''~'' \o^'^ X,
•on aura quatre relations entre ci^„ h^„ c^, d^, et les coefficients précédents, ce qui permettra de calculer tous les coefficients de proche en proche. Nous ne développerons pas ces calculs, nous nous bornerons à indiquer que les coefficients «o» ^o» ^2 et &2 demeurent arbitraires. On a donc bien l'intégrale avec quatre constantes arbitraires*
500. Nous indiquerons encore, à titre d'exercice, l'équation suivante qui se rencontre dans un grand nombre de questions de Mécanique
d-ii , 4 du , f,
T'^ ■+ - 7- -H nhj = 0.
Les conditions de Fuchs sont encore remplies et les intégrales sont régulières. On pourra donc appliquer la méthode •d'intégration par les séries; seulement cet exemple a ceci d'in-
téressant que les séries se laissent sommer et que fmalement l'on trouve pour intégrale générale
y =z -^ (sin nx — noc cos nx) -^ -^ (cos nx -[- nx sin nx),
« et ô étant les deux constantes arbitraires.
501. Une équation très voisine de la précédente a été rencontrée par M. Blondlot ; la force électrique z en un point de son excitateur situé à une distance p de Taxe de symétrie des plateaux est donnée par l'équation
d-S , \ dZ , 47t2 ,r>^y,
df-^Td? '>^"'^ ^ ^
où >^ est une longueur d'onde.
50^. Au lieu de l'intégrer, nous considérerons l'équation
d^y 2n dy , ^ .^^x
dx^ X dx '^ , ^ '
qui comprend les deux précédents pour avoir l'équation (69),
r 2Ttn
on lera m = -y- .
L'équation déterminante sera
r(r-+-2w — 1)=0, ce qui donne deux solutions
7* = 0 et r = 1 — 2 n ; il y a donc une intégrale holomorphe
î/j = «0 H- ff j a; -H «2 ^^ -h ....
En substituant on voit qu'elle ne doit contenir que des
ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE QUELCONQUE 623
termes de degré pair et que les coefficients seront reliés par la relation
Au lieu de refaire le calcul pour r = 1 — 2n, nous nous bornerons à faire observer que la substitution
conduit à l'équation
qui ne diffère de l'équation proposée (70) que par le changede w en 1 — n ; elle admet donc une intégrale holomorphe et en revenant à l'équation (70), on trouve une nouvelle intégrale
avec la relation de récurrence
Llion
dx'-'^
dx
2" "~ 2jo (1 — 2 w + 2p)
Finalement l'équation proposée admettra l'intégrale générale
503. Si les deux racines de l'équation déterminante sont égales ou ne diffèrent entre elles que par un nombre entier, il faudra introduire un logarithme. Supposons, par exemple, que 1 — 2n soit un entier négatif pair — 1m\y^ devient illusoire. Pour trouver une deuxième intégrale, on pourra, comme
Calcul infinitésimal 40
626 CHAPITRE xm
nous l'avons fait jusqu'à présent, procéder par là méthode des coefficients indéterminés. On pourra aussi, connaissant une intégrale, ramener (no473) l'inlégration à celle d'une équation linéaire et du premier ordre, intégration qu'on sait effectuer. Nous laisserons au lecteur le soin d'exécuter les calculs. Nous préférons indiquer une forme intéressante qu'on peut donner à l'intégrale générale.
504. A vrai dire, les considérations dans lesquelles nous allons entrerse rencontrent dans beaucoup de cas et il y aurait lieu de mettre en lumière la méthode d'intégration au moyen d'intégrales définies ; mais nous serions obligés d'entrer dans de longues explications pour lesquelles nous renverrons aux traités spéciaux auxquels nous nous sommes déjà référés et nous nous en tiendrons au cas particulier de l'équation (70).
Nous avons vu que le terme général de l'intégrale particulière y^ est
2. 4. 6 ... 2p. (2n + 1) {27i + 3) ... (2n -+- 2p — 1)' ce qui peut s'écrire
Mais la formule de réduction (72) devient en y remplaçant m par 2p — 1 et n par 2p, et en prenant les intégrales entre zéro et ir de manière à annuler les termes explicites en sin x et cos X
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Mais cette dernière intégrale est une constante que l'on peut supposer contenue dans la constante arbitraire Ci ; le terme général (72) pourra donc s'écrire
et 2/^ deviendra
.tnx cos w , — mx cos to
ïj- • sin-'*~^ w c/w.
On traiterait de même y^.
505. Si în- est négatif = — là, l'intégrale précédente s'écrit
ij^iz= c^ I COS (kœ cos to) sin^"~^ w oJw ; la valeur de y^ est
COS (kx cos co) sin' ~^" oj cIm.
En faisant m := 2 et intégrant trois fois par parties, nous retrouiverons le résultat du n^ 499.
