L'équation de Bessel
s'intègre aussi par les séries. Elle est très voisine, comme
forme, des équations précédentes sans, pour cela, qu'on puisse les ramener les unes aux autres. Faisons en effet le changement de variables
nous obtiendrons l'équation
Pour déduire de cette dernière équation l'équation (70), il faudrait faire soit p = 0, soit y = 0^ ce qui est évidemment in terdit.
Il faut donc étudier directement l'équation de Bessel. A cet effet nous poserons encore d'abord
y = ^'', ce qui donne l'équation déterminante
puis
y = a)'''{aQ 4- «i-r -h a^oj^" -h ... H- a^^aji' -t- ...).
Les termes de rangs impairs sont nuls, et pour les autres on a la relation récurrente
ttojj -4- 9
iP + 2— (^,y.^2p-i-2 -]-n){r -i-2p-h2 — n)'
On voit alors sans peine, en faisant successivement r = n et r = — ?i, que l'intégrale générale peut se mettre sous Ip, forme
«J„ 4- ôJ,î;
dans cette expression « et è sont deux constantes arbitraires et l'on a
jLu r(n- -j-;9 4- l)r(p -t- 1~
J n se déduit de J» par le changement de n en — n.
EQUATIONS LINEAIRES D ORDRE QUELCONQUE
50T. Si n est entier, ces deux intégrales ne sont plus indépendantes et l'on a
Pour trouver une seconde intégrale, il faut introduire un logarithme et appliquer de nouveau la méthode des coefQcients indéterminés. On peut encore (voir Jordan, tome ITI) chercher la limite pour s == 0 de
on trouve ainsi Tintégrale particulière
^r(n-hp-i-l)r(p-4-i)
9|oo.^E>-±i)I>+˱l) .
508. Vu l'importance du sujet, nous traiterons encore un dernier exemple que nous devons à l'obligeance de M. Jean Résal.
JC
FiG. 46 FiG. 47
Considérons deux poutres métalliques 0 A et 0 B symé-
630 CHAPITRE XIll
triques par rapport à l'horizontale OM, et constituant à elles deux une console encastrée suivant la verticale A B et libre enO.
Les poutres 0 A et 0 B sont reliées par des tiges verticales que nous supposerons, pour la mise en équation, infiniment minces et infiniment rapprochées. L'équation de 0 A est
y = Ax"\
On suppose A B invariable ; au contraire^ les autres tiges verticales subissent, par l'efTel des changements de température, des allongements ou des raccourcissements contrariés par la âxité de A B. Il s'agit d'évaluer l'efTort qui résulte pour chaque tige de l'immobilité de A B. M. Résal ramène le problème à ceci : si l'on donne à la distance A B une nouvelle valeur A' B', C D devient C D', et G G' est le déplacement élastique du point G.
Soit
Ez ,
le travail d'extension est — . Il en résulte une réaction exercée
par la tige verticale sur la poutre 0 A proportionnelle au
travail; on sait, d'autre part, par la théorie de l'Elasticité, que
d'^z cette réaction est proportionnelle à ^^. On aura donc enfin,
en désignant par k une constante positive, l'équation
G'est cette équation, ou plutôt l'équation plus générale
dcc"' + "
— k zx- '", (75)
que nous nous proposons d'intégrer ; m et n sont des entiers positifs donnés.
Posons z = X'' ; l'équation déterminante sera
EQUATIONS LINEAIRES D ORDRE QUELCONQUE 631
Elle admet m h- n racines 0, 1, 2 ... m -h n — 1 ; comme ces racines diffèrent entre elles par des nombres entiers^ il peut être nécessaire, en vertu du théorème de Fuchs, d'introduire des logarithmes. Nous commencerons cependant par chercher s'il n'existe pas d'intégrales holomorphes de la forme
= \i x''{aQ H- a^x + ... H- apXi' -4- ... ). (76)
En substituant cette valeur de z dans l'équation (75) et annulant le terme en a;^' + '-'"-", on obtient la relation
{p+r){p-\-r—\)[p-^r-2).... ) [p -\- r — 'm — n -f- 1) a^, = — k cip^n )
qui fera connaître les coefficients de n en n. Soit/? = n ; cette solutionne donnera «„ que sir est supérieur km — 1. Prenons d'abord r = m ; la relation (77) devient
on en déduit
a\n — {— ij h^ ^^^ ^ ^^^ j ^^^ ^ 2n) ! ... (m + In) ! «'
le coefficient a^ restant arbitraire. On aura de même pour toutes les valeurs entières de h inférieures à ?2
a ^;r nV^ M {h-i~7i)\ .... [7i-t-(X — i)n]! -
xn + h—[-i) k (^^^i^/,^!/^^2n^-/^,)!...("^-^Xn-h/^)! '"
La seVie (76) est donc déterminée en fonction des n coefficients «Q, «1, ... a„i qui demeurent arbitraires ; onpeut encore dire, si l'on veut, qu'on aura n intégrales holomorphes indépendantes
^Q = a?™ (1 H- Al a;» -+- A^ a?^» -\- ...) z^ = a;™+ ' (l --h B^ 07» -\- B^ x^» -h ... )
632 CHAPITRE Xm
et les séries qui figurent dans les seconds membres sont absolument convergentes pour toute valeur de x ; elles convergent même très rapidement puisque le rapport d'un terme précédent tend vers zéro d'après la formule (77) pour ;? = oo .
509. Il reste à trouver m intégrales particulières indépendantes des précédentes. Pour cela, nous supposerons d'abord m ■< n et nous essaierons des développements contenant un logarithme ; soit par exemple, pour se borner à la racine r = 0 de l'équation déterminante
V log X,
u = ttf^ ^ tti X -{- a^ OS' -{- V = bj, a?» -{- bp j^ i xP + ^ -^
En appliquant la formule de Leibnilz relative à la dérivée d'un produit, nous aurons
A(A — l)...(/i — 7e4-l)(— iy-'(/^— 1)! d^-H ) (79) k\ x^ dx''-'
Tous les termes qui suivent, dans cette formule, le terme en log x seront des séries commençant par un terme du même degré en x, savoir un terme en x^' - '' ne contenant que b^ comme
coefficient b. Faisons h = m h- n, et remplaçons z et ^ „ j „
par leurs valeurs dans l'équation (75). En égalant à zéro les termes algébriques du plus faible degré, on voit d'abord qu'il faut prendre
de plus le terme du plus faible degré qui multiplie log jr, dans — kz x-'", étant — kb„x''-'", pour qu'il puisse être dédruit
EQUATIONS LINEAIRES D ORDRE QUELCONQUE 633
par un terme provenant de ^^„^ ^^^ , terme dont l'exposant sera certainement positif ou nul, il faut
ce que nous avons supposé. Le premier terme de ^-it+Tî ^st
{m 4- n) I 6,„ + „ ; donc
de même
A partir de l'indice 2n, l'annulation des termes en i*??'-'"-» log X fournira la relation
p{'P — 1) ... (/) — m — n ^ \) hp = — k hp n,
et l'on pourra ainsi calculer chaque coefficient bj, en fonction de celui qui le précède de n rangs. Ensuite en annulant les termes en œi'~'"' - ", on obtiendra la relation
qui donnera les coefficients a en fonction de ceux qui les précèdent de n rangs et des b. Pour toute valeur ;9i dep inférieure k m -\- n, le premier membre de cette relation ne contiendra qu'un terme, celui qui correspond au dénominateur p — pu On auraainsi è„, &„+ j, ... &,j + m- 1 en fonction de a^, a^, ... «„j j qui demeurent arbitraires. Les n égalités suivantes, celles qu'on obtient en donnant àp les valeurs m-\- n,m -\- n-\- \, ... m-[-2n — 1 , déterminent a,„ j^ „, a,„ + n + 1, • • • «m + 2» - 1 ^"^ fonction des coefQcients a„,, a,„i i, ... a,„L„i qui sont encore arbitraires. On a donc l'intégrale générale avec m -\- n coefQcients arbitraires. On retrouverait les n intégrales holomorphes du n° précédent en donnant à a^, a,, ... o,„i la valeur zéro ; les logarithmes disparaîtraient.
'63 i CHAPITRE XI [1
510. Il est essentiel de remarquer, au point de vue du problème posé par M. Résal, que les intégrales qui contiennent des termes logarithmiques sont inutilisables ; car il résulte des
conditions du problème que ^ ne doit pas être infinie pour
511. Dans l'étude que nous venons défaire, nous avons supposé m <; n. S'il en était autrement, ce serait le cas d'essayer des développements tels que
u -H V log X + w log- X -^ ...
Il, V, îv, ... étant des séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de ^, et l'on prendrait ^ + 1 termes logarithmiques, q désignant le quotient de la division de m par n. Mais nous ne nous étendrons pas davantage sur cet exemple, ces considérations n'offrant plus d'intérêt pratique immédiat.
512. Betou?' à l'équation de Riccati. — Nous avons dit (n° 476) que l'équation de Riccati se transforme dans la suivante
g^&co.'".^ (80)
•qui est linéaire et qui satisfait évidemment aux conditions de Fuchs. Elle s'intègre donc par les séries ; mais on peut aller -plus loin. Posons encore
nous obtenons l'équation
d'^z m 1 dz i ah
dV" m -h 2 tdt ^ [m -+- <2)'- 'qui a été intégrée au n° 502.
513. Il est bon de remarquer que l'intégrale générale de iFéquation (80) étant de la forme
^ = Cj^l -H C^ -2»
ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE QUELCONQUE • 633
il résulte de la formule de transformation dun° 476 que l'équation de Riccati aura une intégrale générale du type
CiU 4- C..V u -{- Gv . /oi\
u, V, M,, 15, étant connues. La manière dont figure la constante arbitraire C est caractéristique ; en l'éliminant, on retombe en effet sur une équation de Riccati.
514. Dans les exemples que nous avons traités jusqu'à présent, les coefficients ont toujours été des fonctions rationnelles ou trigonométriques de la variable. La méthode exposée et le théorème de Fuchs ont une portée plus étendue, et s'appliquent dans tous les cas où les coefficients sont analytiques. Pour donner au moins un exemple plus compliqué, nous étudierons V Equation de Lamé qui s'intègre aisément par les fonctions elliptiques.
En fait. Lamé (XVIII"^^ Leçon sur les surfaces isothermes) a intégré l'équation
(p^ - PP^ + q) g + 2p {f- - p) ^-f - {hf - gc^) y = 0
et il a précisément employé la méthode d'intégration par les séries. Si l'on pose
on obtient, en changeant légèrement le nom des constantes, la forme
■jtï — [k^ m (m +1) sn'^.v -i- hj y = 0
636 CHAPITRE XllI
SOUS laquelle Hermite a étudié cette équation. Nous introduirons de préférence la fonction pu, en posant
où
En utilisant les formules (25) et (79) du chapitre X et faisant encore
on donne facilement à l'équation de Lamé la forme
g^ Im (m -i-l)pz-^h']y = 0, (82)
h étant une constante différente de celle désignée précédemment par la même lettre ; m est un entier.
Le coefficient de y a une infinité de pôles doubles compris dans la formule
z = 2mj w^ -H 2m^ w^.
Les conditions de Fuchs sont remplies ; nous allons chercher le développement des intégrales dans le voisinage de l'origine. Pour avoir l'équation déterminante, faisons d'abord
nous avons, en remarquant que pu = ^ H- •••>!& condition
d'où
r = — m et
Il y a donc une intégrale holomorphe î/i et une intégrale y^
EQUATIONS LINEAIRES D ORDRE QUELCONQUE
qui a à l'origine un pôle d'ordre m, propriété qui sera conservée dans l'intégrale générale
U = C,yi
Mais si l'on change ^ en ^ + 2wi ou
2w^ dans toute inté-
grale ? (^X Oïl obtient une nouvelle intégrale, puisque ce changement n'altère pas l'équation : d'autre part, cette intégrale est de la forme Cj î/^ -+- C^ y^. On déduit de là, aisément, mais par des considérations qu'il serait superflu de développer ici, qu'il existe au moins une intégrale 4^ {z) jouissant des deux propriétés suivantes :
Hermite a appelé de pareilles fonctions fonctions elliptiques de deuxième espèce et a donné le moyen de les former. Si l'on pose
'kei \>- étant deux constantes qu'il faudra déterminer par les conditions
2Xwj -h 2uT]i == logSj
2)^(02 -h 2lX71j = l0gS2,
f{z) sera une fonction elliptique.
Cherchons l'intégrale '^ (s) de l'équation (82) dans le cas où m = i. On a alors à intégrer l'équation
Posons
y-^e'^'-i^-^-^'^ri^)-
638 CHAPITRE X[ll
Ici l'origine est un pôle d'ordre 1, donc /"(^), qui ne pourrait avoir an plus que le pôle s =: — [j., est une constante. Or on a
gA. __ l ^ l^ ^ __ ^ ^^
C7 (s' + |Jt) = (T ;a -h ;r a' [J. -H ^ a" (j. -h . . .
par conséquent
a, b, c, d, ayant des valeurs faciles à calculer.
En substituant dans le premier membre de l'équation (83)^ on aura
?J+2c^ + ... — 2 (^-,- + 0, 5'-+ ... 4-7iU^H-6h-g;J + c^^^4- ...")
Eojalons à zéro les termes en —, et - : il vient
ou en mettant à la place de a, b, c leurs valeurs
h a-[Ji -f- X2 ajJt H- 2X a'[JL + (t"[ji := 0
On en tire )^ et i-i : d'abord l'équation en [>■ se réduit à
pu = h
et donne pour [x deux valeurs égales et de signes contraires y-t et — [Jj. Ensuite on a
d'où enfin l'intégrale générale
