Nous donnerons quelques exemples

1° Intégrer

=J Vrrl^"^-

Nous effectuerons la substitution employée au n° 51,

X = cos (f, dx = — sin od'f.

L'intégrale devient

--h cos cp ' ' / " 2

= I (cos cf — l)c^ca = sin cç — G.

et enfin

I = Vl — ^' — arc cos x (53)

La métiiode du n° 43, appliquée au même exemple, donne le calcul suivant : On pose

v/ÏEi

d'où

dx

I f^ÉÈU --if ^y + 4 / ^^^^—

La dernière intégrale a été calculée (formule 20) ; on a donc

I == — 2 arc tang ?/ + , "'^ .. = — 2 arclangv/. ~ ^"^ +\/l — a;% ^'^ 1-1- ?/^ °V1-1- •-'-.'

ce qui est la lormule (53) sous une autre forme.

Celte méthode s'applique d'ailleurs toutes les fois que la difîérentielle ne contient pas d'autre irrationnelle que

V ce

11 suffit alors

de

poser

2° ISoit encore

intégrer

dv

[a -h bx) v/l -^- x'^

Nous poserons, comme au n^ 51,

\/l ^ x'-' = ce -^ :r, ce qui donne

dx I 'Idz

{a H- ho:) v/l -^ X-' j 2az -\- b{i — z'')

1 , a — hz ^ \jce -H 6- .

Sla' -\-h-' ° a — bz — \la' — b'

il n'y a plus qu'à remplacer dans le second membre z par

Réduction des îiitégrales abélîeiines (*)

55. — Les intégrales, d'ane nature plus compliquée, que nous avons définies au n° 41, ne peuvent pas, en général, être ramenées à des intégrales élémentaires. On peut du moins essayer, comme cela a été fait pour les intégrales hyperelliptiques, d'en opérer une classification et de ramener certaines d'entre elles à d'autres analogues.

Soit

1= / F{x,îj)dx (58)

l'intégrale attachée à la courbe indécomposable.

Nous supposerons que cette courbe est de degré m et qu'elle n'a aucune asymptote parallèle aux axes, ce qui exige simplement que les axes de coordonnées aient été convenablement choisis ; enfin nous supposerons que les points à l'inlini soient simples, ce qu'il est toujours possible de réaliser en faisant une perspective de la courbe. Ces hypothèses reviennent à dire que l'ensemble des termes du plus haut degré est de la forme

{a^o: 4- pi?/)(a2^ + P,y) («m'S? + ^^y),

aucun des nombres a;, py n'étant nul, et tous les rapports ^ étant

distincts.

Cela posé, soit une fraction rationnelle définie par l'égalité

'K^S = /VF(•^^v) ;

(*) Les n°s bo à 59 peuvent être passés à une première lecture.

on peut toujours supposer que le dénominateur ne contient que la variable x. On démontre en effet en Algèbre que, si A et B sont deux polynômes en ij premiers entre eux, on peut trouver deux autres polynômes en y, U et V, tels qu'on ait identiquement

AU -^ BV = K,

K étant indépendant de y. La démonstration est absolument la même lorsque les coefficients des polynômes A, B, U, V, renferment une autre variable x. Si donc on appelle X une fonc-

tion de x et si l'on suppose que '|(j?,?/) est une fraction g, on

pourra trouver deux polynômes U et V entiers en 57 et %wy et tels que

BU-f-V/"=X

ou, comme, par hypothèse, / ix,y) = 0, tels que

BU=X; on aura alors