CHAPITRE XIV EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES
Définifloiis
515. On entend par système d'équations différentielles simultanées le système formé par n relations entre une variable indépendante t, n fonctions x, y, ... v de cette variable et leurs dérivées des divers ordres.
De tels systèmes se rencontrent souvent en Physique mathémathique^ en Mécanique, dans la Théorie des vibrations, etc. Par exemple, dans l'étude des mouvements planétaires, on est conduit à des équations où figurent à la fois le temps /, les coordonnées des points mobiles et les dérivées de ces coordonnées par rapport à t. Le problème consiste alors à tirer de ces équations les valeurs des coordonnées en fonction de t, de manière à obtenir, par l'élimination de cette variable, les équations des trajectoires des points mobiles. « La plus belle « question delà Philosophie Naturelle se trouve ainsi ramenée « à rintégration d'un système d'équations différentielles- « simultanées » (*).
(') CouRNOT. — Théorie des Fondions n° 302.
Réduction d'iin système à une équation différentielle unique
516. Considérons d'abord le cas où n = 2; le système sera alors formé par les deux équations
/ dx d"'x, dy ^^'V \ n tw
A V' '^' dt' '•' "df- ^y^ dt' ••• dtp ) — ^ ^^}
^1 dx d'x dg d^y\ ^ /^x
'^V' ^> ^7' - av '^^ dt' ••• dt^)^^- ^^^
En ditTérentiant r fois l'équation (1) et m fois l'équation (2), on obtiendra 7n ^ r -\- 2 relations, entre lesquelles on pourra
dcG d"^ "^ '\37 T
déterminer les m -t- y — 1 quantités x, -tti ••• ^.,„ + ,. • ^^
résultat de cette élimination sera une équation différentielle entre la variable t et la fonction y, dont l'ordre sera généralement égal au plus grand des deux nombres m -h p, r h- s ; il sera moindre, lorsque pour faire l'élimination on n'aura pas employé toutes les m -i- r -+- 2 équations. Prenons comme exemple le système
que l'on rencontre dans la théorie du Pendule de Foucault et où «, b sont des constantes données.
Désignons par (3) et (4), puis par (5) et (6) les relations qu'on obtient en différentiant deux fois de suite d'abord (!'), puis (2').
En portant dans (o) les valeurs de dt et de , f tirées respectivement de (1') et de (4) on trouve, pour déterminer œ, l'équation différentielle linéaire
EQUATIONS DIFFERENTIELLES SIMULTANEES 64i
qui est du quatrième ordre sans second membre et à coefficients constants.
X étant obtenue par l'intégration de cette équation, on aura
y par l'équation (2') dans laquelle on aura remplacé -■—{ tiré
de la relation (3).
517. La méthode que nous venons d'indiquer ramène l'intégration du système formé par (1) et (2) à l'intégration d'une seule équation différentielle entre la variable indépendante/ et une seule fonction inconnue de cette variable.
Ce procédé, par élimination^ s'applique au cas général d'un S3^stème défini comme au n° 515.
On éliminera d'abord x entre les n équations du système, ce qui donnera n — 1 équations entre les n — 1 inconnues ?/, z, ...V. Puis, on éliminera?/ entre les n — 1 équations, et ainsi de suite. On parviendra de la sorte à une seule équation différentielle ne renfermant plus, outre la variable indépendante t, qu'une seule inconnue v.
Réduction à la forme Canonique
518. Considérons d'abord une équation différentielle d'ordre quelconque entre la variable indépendante t et une fonction x de cette variable
Posons
nous obtiendrons de cette manière le système
dx , d^ „ dx''^ -
'dt'~^' Tt ^ ■■• ~~di
F [t, X, x', x" ... .z('"-^M, --^^') Calcul imfinitésim.vl 41
dans lequel n'interviennent, outre les fonctions x^ x' , js", ... a?('" -■'^), que leurs dérive'es premières.
Ainsi, on peut substituer à une équation différentielle (ï ordre quelconque (3) un système (4) d'équations différentielles du premier ordre, en introduisant des fonctions inconnues nouvelles.
519. De même, le système formé par les équations (l) et et (2) [dans lesquelles nous supposerons, pour fixer les idées, ^;^ >■ î' et s >> [ji.] peut être remplacé par le suivant
dx ^ ^j "^K^x" •■• ^-Zl^ = cci'-^-^}
dt ^' ' dt ' dt
dt ~" ^ ' dt ~y ' dt ^
t, X, x', ... , —-^jj— , ••• y, y, ••• }rn = o
f^[t, X, x', ..., xi'X ... y, y, ... -^— j
qui est du premier ordre.
Plus généralement, soit un système d'équations simultanées quelconque c'est-à-dire tel qu'on Ta défini au n" 513. En représentant par une lettre chacune des dérivées excepté celles dont l'ordre est le plus élevé, on obtiendra un système d'équations simultanées du. premier ordre équivalent au système proposé.
