Considérons maintenant le système canonique (G
supposons que les fonctions c?^, cp,, ... o,^ soient continues lorsque les variables restent comprises entre certaines limites. Désignons en outre par t^, œ^, y^, ... v^des quantités arbitraires mais aussi comprises respectivement entre les limites indiquées. // existe alors un système unique de fonctions
jouissant de la double propriété de satisfaire aux équations (6) et de prendre respectivement les valeurs x^, Vq, .,. Vq pour
La première démonstration rigoureuse de ce théorème fondamental est due à Cauchy ; nous renverrons pour cette démonstration au Cours d'analyse àe, Jordan.
Le système (7) a reçu le nom de système intégral du système (6).
529. Supposons que, par une voie quelconque, on ait trouvé, entre les n -j- 1 variables t, x, y, ... v, et ?i constantes arbitraires c^, c, ... c„, n relations
Fj (t, X, y, ... V, C^, Cj ... Cn) = 0 j
Fn{t, X, y, ... V, Cj, c. ... c„) = 0 )
d'où l'on puisse tirer des valeurs de x, y, ... v satisfaisant aux équations (6). Comme le sj^stème intégral des équations (6) est unique, le système (8) ne différera pas de ce système intégral pourvu qu'on puisse attribuer aux constantes Ci, c^ ... c„ des valeurs telles que x, y, ... v se réduisent respectivement à x^,
Vo, ••• ^0 pour t = t,. ^
Celte dernière condition sera évidemment remplie, si, en résolvant les équations (8) par rapport aux constantes, on obtient des relations
Ci = 61 {^, X, y, ... v) j ^^^
Cn= o« {i, X, y, ■■■ v) J
dont les seconds membres soient des fonctions bien déterminées et distinctes de t, x, y, ... v. Sous cette forme particulière, le système intégral se compose de n équations dont chacune ne renferme qu'une seule constante arbitraire; et l'on dit, de chacune de ces équations, qu'elle est wie intégrale du système (6).
li;QUAT[ONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANEES 645
Quelques exeuiples cîliitégralbîlUé du sjstèuie ((3)
523. D'après le numéro précédent, intégrer le sj^stème (6') c'est trouver n fonctions de n -h 1 variables t, x, y, ... t», telles que chacune de ces fonctions reste constante lorsqu'on fait varier /, x, y, ... v de façon que leurs différentielles dt, dx dy, ... dv soient proportionnelles à des fonctions données T, X, Y, ... V des mômes variables.
Le problème étant ainsi posé, on voit qu'on pourra déterminer chacune des intégrales séparément, ce qui est un avantage ; mais il n'existe aucune méthode générale pour déterminer ces intégrales^ et on ne peut donner à cet égard que quelques indications très simples qui vont faire l'objet des quatre numéros suivants.
524. Si, en prenant deux des rapports (6') et supprimant les facteurs communs, on a une égalité de la forme
dv du
u et V désignant deux quelconques des variables t.^ x, y, ... v, la relation
Yr< — / -7-T = a (constante arbitraire)
sera une intégrale du système (6).
Cette intégrale étant connue, on pourra, en la résolvant par rapport h u qm h v, éliminer u ou v dans le système (G') et simplifier ainsi la recherche des autres intégrales du système.
Exemple :
dx 2 d]i dt
t or.y X '
Le premier et le dernier rapports donnent xdx = tdt d'où x'^ — f- ■=■ a^ qui est une première intégrale. Les deux derniers
rapports donnent ^-^ =. dt d'où log?/ = i -t- log «^ ou «3 = 6' — y-
qui est la seconde intégrale.
Autre exemple :
dx dy dz
11^ v^ ccysv œysu "~
dîc ~ xzuv ~
dv œijuv
di^ cJiv Le troisième et le dernier rapports donnent ^ = "^ d'où une
première intégrale v = a.z. De même, le second elle quatrième rapports donnent une seconde intégrale u = ^y. En éliminant u ei V, il reste
dx dy dz
3j2p2^2 axyz^ . ^xy'^z
