Convenons d'appeler rapport composé de plusieurs
rapports ^,^,^^ un rapport tel ^^^^ Ti^-^:\^:^\i °^^ ^^^ multiplicateurs X, X^, X^, sont des constantes oujdes fonctions des variables qui entrent dans p, p^, p,» ^h Ç'i' '?2- ^^^^ posé, si avec tous ou quelques uns des rapports (1) on peut former un rapport composé dont le dénominateur soit nul, et dont le numérateur soit la différentielle cF une fonction u de toutes ou de cjuelques unes des variables t, x^, ... Xn., u = '^ sera une intégrale du système.
cïït Car le rapport -?.- sera équivalent à l'un quelconque des
rapports (J) et l'on tombera sur la règle précédente. Exemple :
dx dy dx
Cl) — hz az — ex hx — ay '
Les combinaisons
adx ~\- hd]i -T- cdz
a {cy — hz) -l- b (az — ex) -h c [bx — ay) '
xdx -+- ydy -\- zdz X {cy — bz) -f- y (az — ex) -h z bx — ay)
se réduisent respectivement à
d (ax -\- by -t- cz) . d (x-
de là les deux intégrales
ax -\- hy ^ c:2 = '■j. , x- -+- ^/^ +- -" = P.
oST. Plus généralement, si F on peut former deux rapports composés de la forme -r- •' "r 5 ^^ ^^ ^ étant des fonctions des
variables et h. et 1^ des constantes , on aura, en vertu des équa-
.. ,„,^ du dv , ., u V • ^' 7 j
lions (o'j, -V- = -ir, et par suite -r — g sera une intégrale du
système (6').
Exemple :
dx dy dl
y '\- t t ^ X X -\- y 1 avec tous les rapports on forme le rapport composé
dx + dii 4- dt d. loff [a: -^ y -h i) ■
-— d — ou ^^-^ — - — ^ ^ '
avec les deux premiers rapports, on forme le rapport composé
dx — dt d. Io2r (x — t] -
—7 TT ou ^^^T '
on a donc l'intégrale
—si — ^ 1-\ ^A^ -^ = const.,ou(^; + 2/H-0 ^^' — i)=^consU
€u enfin
(.^(7 -\- y -^ t) {x — ty =^ a
■et l'on obtiendrait de même
(00 ^ y -ht) (y — t)^ =}
EQUATIONS DIFFERENTIELLES SIMULTANEES 649
Equations sîsmiltaiiées linéaires du premier ordre
538. Considérons d'abord le cas de deux équations. Le système à intégrer est alors
dx
P> Pi> Q, Qn V, Y^ désignant des fonctions données de la variable indépendante t.
On pourrait procéder par élimination comme au n° 316 et ramener l'intégration du système (10) à celle d'une équation linéaire du second ordre ne contenant qu'une fonction inconnue.
Mais il est plus simple et plus élégant d'appliquer la méthode suivante due à Dalembert.
Ajoutons à la première équation la seconde multipliée par une fonction de la variable t. Nous aurons
Ji + ^^ li}^ ^^ -^ ^^^^ ^ + (Q + aQO y = V + ÀV,. (11)
Posons ensuite
ûj -\- hj = u
u désignant une nouvelle fonction de t. En difîérentiant, on obtient
djo ^ di/ du dX
dï '^ ^t^~dl~^-' Jt '
puis, en substituant dans (U), on a
6b0 CHAPITRE XIV
Or, ij ne figurant ici qu'à la première puissance, on éliminera cette fonction y, en égalant à zéro son coefficient, ce qui donne les deux équations
§4-(P-hXP,)X-(Q + XQJ = 0 (13)
cU du
^^ + (P + XP J .. - (V H- XVO = 0. (14)
L'équation (13) ne renferme que X et ^ ; elle est du premier ordre, mais non linéaire ; on ne sait donc pas en général l'intégrer. Mais il suffit, pour notre objet, d'avoir deux intégrales particulières X^ et X^.
En efî(4, en remplaçant successivement X par X^ et par Xj dans l'équation (14) qui est du premier ordre et linéaire, on obtiendra, pour u^ deux valeurs U\. et u^ correspondantes àX^, X^ et renfermant chacune une constante arbitraire.
Les fonctions cherchées x Bi y résulteront ensuite de la résolution des équations
u^z=L X -\- >-^y , it.j = X -\~ l^y. (15)
Ces valeurs contiendront deux constantes arbitraires, puisque Kl et u^ en contiennent chacune une.
529. Si les coefflcienis P, Pj, Q, Q^ sont constants, on pourra supposer X constant dans l'équation (13) qui se réduit alors à l'équation du second degré
(P^XPjX-(U-f-XQJ = 0 (16)
dont on prendra les racines pour X^ et X^.
Toutefois il peut se faire que les racines de (16) soient égales ;. dans ce cas on n'aura qu'une valeur de X. Mais alors, l'équation. (13), en y laissant X variable, prendra la forme
ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES SIMULTANEES 65 i
OU
dans laquelle a désigne la A^aleur de la racine double. L'équation (17) ayant pour intégrale
il suffira de donner à la constante arbitraire C deux valeurs particulières pour obtenir les deux valeurs de X qui sont seules nécessaires. Le choix le plus simple consiste à prendre successivement C = 0 et C = 00 , d'où
X, = a4-pi-^ et l, = a. (18)
Il n'est peut-être pas inutile de remarquer que le système (1 0) peut toujours être intégré lorsque les coefficients P, Pj, Q, Qi sont constants.
