X -^ y^y ■^- \>-s = II

d'où

dx ^ dij dz du dX cl^ .^^.

Tft'^ Tt'^''' dt~ di -J dt'^^ dt ' ^-"^

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANEES 6o3

Par cette substitution l'équation (20) deviendra du

- y [f^ H- À (P -\- >^Pi + v-^ù - (Q ^- >^Qi + v-^.)

Idt + !^ (P + ^^Pi -+- !"P^) - (R + XR, + laR,;

Or, cette équation ne contient y et z qu'à la première puissance ; on éliminera donc y el z en égalant à zéro leurs coefficients, ce qui donne les trois équations

§ + (P -+- ^-Pi + l'^ù >^ - (Q + >^Qi H- !-Q.) = 0. (24) §? + (P + ^^^ -^ î'P^) !- - (H + >^Ri ^- i^R^) = 0. (25)

fl 4- (P + XP, + t^P.) ic - (V + XV, + ;aV,) = 0. (26)

Les équations (24) et (25) ne contiennent, outre t, que X et [jl ; elles sont du premier ordre,, mais non linéaires. On ne sait donc pas en général les intégrer ; mais il suffit, pour atteindre notre but, d'avoir trois intégrales particulières X,, X^, Xg et trois valeurs correspondantes [x^, [a^, \>.^. En efret, pour un système de valeurs correspondantes X, et [/, l'équation (26), qui est à la lois du premier ordre et linéaire, donnera une intégrale u^ renfermant une constante arbitraire. On aura de môme une intégrale u^ correspondant au système X^ et ^^, et une intégrale 11^ correspondant au système X3 et \i.^. On obtiendra enfin les fonctions inconnues x, y, z,, par les relations

X 4- \^y -+- [^jZ = u^ )