X -\-'k^y -\- fjt-gZ = u,^ S
Ces expressions de x, y, z, contiendront trois constantes arbitraires.
533, Examinons maintenant le cas oit les coefficients P, Q, R, Pi, Qi. Ru P2. Q-2> R2' ^ont constants.
On satisfait alors aux relations (24) et (25) en prenant pour 1 et [j. les racines des équations numériques
l (P -4- ).P, -h I^Pa) - (Q -+- XQi + f^Qa) = 0
IX (P -+- IP, -i- M-Ps) ~ (R 4- XR, 4- [JiR,) = 0.
On facilitera la résolution de ces équations en introduisant une inconnue auxiliaire S deTinie par la relation
P -+- P,X -+- F^ii = S. (28)
On a ainsi les trois équations
P — S -4- PiX + P,|JL = 0 ) Q -4- (Qi - S) X -4- Q,^ = 0 . • (29)
R -h RjX + (R^ — S),a = 0 )
qui, par l'élimination de X et p-, donnent l'équation en S
Pi
Qi-S
Soient Sj, Sg, Sg les trois racines supposées distinctes de cette équation du troisième degré. A chacune de ces racines répondra un système de valeurs de X et de \>- fournies par deux quelconques des relations (29) et que nous désignerons respectivement pcir (X^, [j.j), (Xj, [X2), (X3, (^3).
L'équation (26) deviendra
^ ^ Si^ — (V 4- XVi H- i>N
On y remplacera successivement pour (S, X^ [a) les trois systèmes (Si, \, p-O, (S2, X,, [JI2), (S3, X3, P3) ; puis, en intégrant, on obtiendra pour u trois valeurs ii^^ u^, u^ renfermant chacune une constante arbitraire.
Entin la résolution du système (27) donnera les fonctions cherchées x, ij, ^ en fonction de / et de trois constantes arbitraires.
ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES SLMULTANEES 655
Nous avons supposé que l'équation en S avait ses trois racines distinctes. L'étude du cas où il y a une racine double ou une racine triple nous entraînerait trop loin ; on procéderait d'ailleurs d'une manière analogue à ce qui a été dit au n° 529. On peut aussi, comme au n° 516, réduire le système aune équation différentielle unique.
Autre lîsétliode
533. 11 résulte de la théorie précédente que le seul cas qui se prête véritablement à une intégration effective est celui où les coefficients sont constants.
Dans ce cas, on préfère souvent à la méthode de Dalembert, une marche plus en harmonie avec celle que l'on a suivie dans le chapitre précédent à propos d'une seule équation linéaire à deux variables.
Considérons d'abord les équations
^^ ' Px ■+ Qy -h Rz =^ 0 ]
dt dy
dt
privées de seconds membres et à coefficients constants.
Tout revient évidemment à trouver trois solutions particulières {x,, y,, 2,), (072, y2, 2-^, (^'3. Us' -3) ; car le système
satisfaisant au système (31) et renfermant trois constantes arbitraires, serait le système intégral de (31).
Cherchons donc trois solutions particulières.
Posons à cet effet
= Cj.r^ 4- G.^oo.^ H- C^oc^
= ^iUi + ^21/2 -+- ^3^3
= e- S^, y = le~ S^, z = ixe- ^^ (33)
OÙ S, l, il sont des constantes inconnues ; puis, substituons ces expressions dans (31). Nous obtiendrons les trois relations (29) qui, par l'élimination de >^ et de (j., conduisent à l'équation en S qui porte le numéro (30). Soient S^, Sg, Sg les racines de cette équation numérique du troisième degré, désignons par Xj, X^, \ les valeurs correspondantes de )^ et par ;j.i, [x^, ^^ les valeurs correspondantes de [^ ; nous aurons ainsi les trois solutions particulières cherchées
■ Soi
ix^e~
Le système intégral du système différentiel (31) est donc
