Considérons, en second lieu, le système

dx 'di dy

-hPcc -f- Qy -f- R^ = V

+ P^i + Q-iV + Bi^ = Vj ) (35)

dt

dans lequel les coefficients sont constants, mais dont les seconds membres V, Yi, Vg sont des fonctions données de t.

Nous allons appliquer la méthode de la variation des constantes arbitraires.

A cet effet, cherchons s'il est possible de satisfaire au système (33) par les expressions (34), à condition de considérer Ci, Cj, C3 non plus comme des constantes mais comme des fonctions convenables de t.

ÉQUATIOiNS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANEES 6o7

Nous aurons dans celte hypothèse, l'équation

^ s,c,e~si^ - s,a.-s^* - S3C,e- s.*

à laquelle il faudra joindre les expressions analogues de -K

et de -7^ . En portant ces deux valeurs, ainsi que la précédente,

dans les équations (3o), on voit que, en vertu des relations (29), les termes en Ct, C^, C3 sont nuls. Il reste alors les équations

^'^' ' -dt-^^'-^' '-df-^^^' ^-^=^^

On déduit de là

wCij rp dLi2 rp ~i3 T

Tj, Tg, T3 étant des fonctions de t ; d'où, par intégration, C,= / T. f/< + T„ G, = / T^dC^y„C,= / T3cZf+Y3

ïu Ï2' Ts étant des constantes arbitraires ; il ne restera plus qu'à substituer ces valeurs de Cj, C^, C3, dans les formules (34) pour avoir les intégrales du système (35).

CaLCDL ISFINITÉSIMAL 42

Propositions relatives aux intégrales

des équations différentielles simultanées

du premier ordre

535. Revenons au système des n équations clifférentielle& du premier ordre

dt dx^ dx.2 dXn

p— pr~~P7~ ••• "~ PT

oti P, Pj, P,, ... Vn sont des fonctions données de n + 1 variables ^, ^1, ... ocn, et soit

/i = «1 f2 = ^i'-- fn = 'J-n (37)

le système intégral de ce système (n°* 320 à 523).

Les fonctions /l, /!,, ... fn qui constituent les premiers membres des intégrales (37) jouissent des propriétés suivantes qui nous serons utiles dans le chapitre XV.

1" u désignant Vune quelconque de ces fonctions, on a identiquement

pfi HP^|"^P.,f^i+ ... Y\p- = Çi. (38) dt dx^ " «iCj dXn ^ '

En effet, puisque u = a. est une intégrale du système (36), on a

du j, du y du , „ .„.,

pour les valeurs de t, x^ ... Xn qui satisfont au système (36); et comme, en vertu de ces équations (36), dt, dx^ ... dxn sont proportionnelles à P, P^ ... P„, l équation (38) doit avoir lieu pour les valeurs de t, x^, x., ... x„ qui satisfont au système (36). Mais la relation (38) contient seulement t, x^ ...^„et nullement les différentielles dt, dxi, ... dx»; nous avons vu d'ailleurs (n° 521) que pour une valeur quelconque de l on

EQUATIONS DIFFERENTIELLES SIMU LTANEliS 659

pouvait se donner arbitrairement les valeurs de x^, œ., ... x^ \ donc l'équation (39) doit en définitive avoir lieu quelque soient /, x^^ x^ ... Xn.

2° Il suit de là que Véqiiation (38) admet les n solutions distinctes

U = f^ U= f, ... 2( = fn

Par suite, cette équation (3) est satisfaite jjar toute fonction arbitraire

des fondions f^, /, ... /„.

En effet, d'après (1"), pour qu'une fonction de/, x^ ... x^ satisfasse à l'équation (38), il suffit que cette fonction égalée à une constante soit une intégrale du système (36) c'est-à-dire que cette fonction reste constante quand t, x^, x.2 ... Xn varient en satisfaisant aux conditions (36). Or, puisque f^, /, ... fn jouissent de cette propriété c'est-à-dire restent constantes sous les conditions (36), une fonction arbitraire -^{f^, f, ... fn) de ces fonctions restera aussi constante dans les mêmes conditions et par suite sera encore une solution de (38).

3° On peut du reste vérifier que, si u^, u„ ... u^, sont des solutions de l'équation (38), une fonction arbitraire de ces solutions

est encore une solution. En effet, on a

do;„

et en substituant dans (3)

^-Vp^+P. ^^^Lh-... +P-5-) l

or cette relation est identique, puisque, u^^ ... Up étant des solutions de (38), chacune des parenthèses est nulle.

4° Il est facile de déduire de là que Véquation (38), bien €[u'elle ait une infinité de solutions, ii admet que n solutions distinctes.

En effet supposons qu'elle ait plus den solutions distinctes, et soient

n H- 1 de ces solutions ; puisqu'elles sont distinctes, on pourra les résoudre par rapport à /, x^, x.^ ... Xn et en tirer

Or, soite(;, x^ .'.Xn) une fonction tout à fait arbitraire de i, x^ ... Xn. En y portant les valeurs qu'on vient de trouver pour t, x^ ... Xn, on aurait

6 ==: X(U^, U.2 ... Un)

mais, it^ ... Un étant des solutions de (38), 6 qui est une fonction de w, ... Un serait encore (3°) une solution de (38). Donc l'équation (38) serait satisfaite par une fonction quelconque (i{t, x^ ... Xn) des variables /, ^, ... Xn ce qui est absurde.

5° En résumé, l'équation (38) admet (2°) les ?z solutions distinctes

u = /; u = /; .... u=^ fn.

Elle n'admet d'ailleurs que n solutions distinctes (4°). Donc toute solution de cette équation doit être une fonction de A> A ... fn ; et comme (3°) une fonction arbitraire àe f^, fz ... fn

EQUATIONS DIFFERENTIELLES SIMULTANEES 661

satisfait, il s'en suit que la solution la plus générale de réqiiation (38) est une fonction arbitraire des fonctions tiifi ... fni qui égalées à des constantes forment le système intégral des éc/uations simultanées (30).

536. Méthode par approximation de M. Picard. — M. Picard a donné, pour l'intégration des équations différentielles, une méthode d'approximations successives qui est particulièrement intéressante pour les ingénieurs et doit trouver place ici.

Comme on peut toujours poser

dx^y^' 'dx ~ ^'' ■■■ dx " ■'•"

et par conséquent remplacer une équation différentielle d'ordre quelconque par un système d'équations du premier ordre, nous considérerons un pareil système

dv . , . (

j^ = f,{x,n,v, ... iv) \^

div \

■i; dans lequel /i, /o ... f,i désignent des fonctions continues, réelles, des quantités réelles x, u, v ... iv dans le voisinage de ^0, u^, Vfi ... ît\. Nous supposerons en outre qu'il existe n quantités positives A, B, ... L telles que, œ, y, u, v ... iv et y' , u' , v' ... IV étant comprises dans les intervalles de variation des variables, on ait

I fi [x^^ u', v' ... w') — fi (ce, n, v, ... zo) \ < A j u' — te \ -^ B \ v' — V \ -^ ... + L { îc' — w \ .

Voici alors en quoi consiste la méthode : on considère le système

rfwj - , . dw. „ , .

-^ = A [X, U„ V, ... IV,) .... -^ = ^ [x, u,, V, ... IC,)

et l'on en lire, par des quadratures, les fonctions de x, u^, Vi ... Wy qu'on détermine par la condition qu'elles prennent les valeurs z/q, v^ ... u\ pour a? = a^g. On détermine de même M-, l'o ... iv^ par les équations

dU:, /. / \ dW, jy , ^

et par la condition de prendre les valeurs Uq, Vq ... Wo pour X = ^g, et ainsi de suite les fonctions Um,Vm ... ic,n étant reliées aux précédentes par les équations

-^^^ = / 1 V'^^, t«,n - 1 ) '^iu - 1 » . • • • ?^î/i — 1 J

et satisfaisant aux conditions

IC„ = U^, V,n ^=Vo, ... IV, n = ?f'o

pour X = .Tq. mm. Picard et Lindelôff ont démontré que ii,n, v,n ... Wm out des lïmitcs bien définies u., v, ... lo qui satisfont aux équations différentielles pourvu que x ne s'écarte pas trop de la valeur initiale Xq.

Si Ton désigne par a l'écart maximum de x, et par b le plus petit des écarts de u, v ... lo pour lesquels les fonctions /; restent continues et réelles, si l'on appelle M le module maximum de ces fonctions dans les mêmes intervalles, la solution sera assurée si | j: — Xq\ ne dépasse pas la plus petite des quantités « et jTj.

Généralités

537. On nomme équation aux dérivées partielles toute relation entre plusieurs variables indépendantes a^^, x^j ... Xn, une fonction z de ces variables et des dérivées de divers ordres de cette fonction par rapport aux variables XijiCg» -..^n. \J ordre de cette équation est, par définition, celui de la dérivée de Tordre le plus élevé qui figure dans cette équation.

Les équations aux dérivées partielles ont été l'objet des travaux des plus grands géomètres parmi lesquels il faut surtout citer Dalerabert, Euler, Lagrange, Monge, Arupère, Cauchy et Jacobi. Mais c'est à Caucby que l'on doit les premières recherches rigoureuses sur l'existence et le degré de généralité de la solution. Nous ne saurions, sans sortir de notre cadre^ rapporter ici les théorèmes de Cauchy malgré les simplifications introduites dans leur démonstration par M. Darboux et M. Kowaleski. Nous renverrons sur ce sujet au Cours d'analyse de M. Jordan.

D'ailleurs, pour les équations du premier ordre, l'existence et la nature dts intégrales résulteront de la marche suivie pour trouver ces intégrales.

537. Avant d'entrer véritablement en matière, il convient de signaler un cas très particulier ; c'est celui où les dérivées

partielles contenues dans l'équation différentielle ne concernent qu'une seule variable.

On devra alors opérer comme si chacune des autres variables était constante ; mais il faudra remplacer les constantes que l'intégration aura introduites par des fonctions arbitraires des mêmes variables.

Soit, par exemple, l'équation

--- = Scc-u.

dx •'

Si l'on intègre en regardant y comme constant, on a

d'où, en remplaçant la constante C par une fonction arbitraire de y,

Intégration des équations linéaires du 1" ordre aux dérivées partielles