U s'agit d'intégrer l'équalion

Pi :^ -i-P, ■^--l----+Pn^|-=P (1)

où Pj, Pg ... Pn et P sont des fonctions données des n variables indépendantes x.^, x,^ ... Xn et de la fonction inconnue 2 de ces variables.

Or, soit cp \x^, x^, ... Xn, ^) = 0 l'équation qui définit une solution quelconque de (1). En différentiant successivement par rapport à chacune des variables indépendantes x^ ... Xn, on aura les relations

do ôcf ô;? A "^T ô(f 55" ç. i^? 4 ^ ^ 0' (^\

^x\ ~^ SI- îxFj ' f»^ "^ ^'i ^-2 ' *" ^^" ^- û-^»

qui donneront les dérivées partielles de z

du ho >^0

i)Z "ôF dZ

attendu que -^ n'est pas nul, sans quoi l'équation considérée

o{x^, x^ ... Xn, ^) = 0 ne contiendrait pas z, ce qui est absurde. En portant ces valeurs dans (1) et chassant le dénominateur

commun -^-, on aura

Pi^-^ + P. ?^+ - -fP.---+P^ = 0; (4)

^ l'X^ ^ ôa^a i^Xn ^z

donc la fonction o satisfait à l'équation (4),

Réciproquement, si œ (.Tj, x^ ... Xn, z) est une fonction des n -h 1 variables a?i, ^^ ••• ^n, - satisfaisant à l'équation (4), la fonction :^ de ^j, a?, ... Xn déterminée par

Cf(,V7j, 07,, ... Xn, Z) =0

satisfera à l'équation (1) ; car, en portant dans (4) les valeurs (Je -ï-, 12- ... -2- tirées des relations (3), et supprimant le fac-

hX^ iX^ iiXn

teur commun -^ qui n'est pas nul par hypothèse, on tombera

sur l'équation (1).

Il résulte de là qu'on obtiendra la solution la plus générale de (1) en égalant à zéro la solution la plus générale de (2). Or, on sait que cette dernière solution est

Tî étant une fonction arbitraire et f^, f, ... ^ étant les fonctions de X,, x^ ... Xn, z qui égalées à des constantes constituent le système intégral des équations différentielles ordinaires simultanées du premier ordre

dx, dx, dxn dz ,v\

Donc enfin la solution la plus générale de (1) sera donnée par

ou, si l'on veut, par

Bèg le pratique. — Poiw intégrer r équation (1), formez le système si^nultané (3) ; déterminez son système intégral /; r= aj, /; = a, ... fn = a,„ et écrivez que Vune des fonctions /i' fi ••• fn est une fonction arbitraire des autres.

539. Lorsqu'il n'y a que deux variables indépendantes (ce qui arrive le plus souvent et notamment dans les applications à la théorie des surfaces), on désigne habituellement ces deux variables par x et y, et par p ei q les deux dérivées partielles

'--, ^ et l'on écrit l'équation (1) dans ce cas particulier sous

la forme classique

Fp -^Qq = R (7)

P, Q, R étant des fonctions données d'^r, y, z, L'intégration de cette équation dépend alors du système

dx di/ dz ra\

■et si /"i = ai, /"^ = a^ sont les intégrales du système (8), l'intégrale générale de l'équation (7) est /l = ■": (A), "^ désignant une fonction arbitraire.