A AU AU
et
Finalement, si l'on décompose =^ en éléments simples, on
voit que toute intégrale abélienne peut être considérée comme provenant de deux types d'intégrales,
dans lesquelles le numérateur est un polynôme.
DES INTEGRALES INDEFINIES
56. — Nous allons essayer de re'duire les intégrales de la forme 1,. Soit p le degré de P, P^ l'ensemble des termes horaof^ènes de degré p dans P, «f(^,?/) l'ensemble des termes homogènes de degré m dans f{x,y). Nous allons démontrer qu'ouï peut toujours ramener le degré du polynôme P à être au plus égal à 2m — 4.
A cet effet nous déterminerons un polynôme homoo-ène X(^,2/) tel que là différence Ji — X puisse être mise sous la forme d'une intégrale de même forme que Ti, mais avec un numérateur de degré p — 1. Nous remarquerons pour cela qu'on peut écrire
l(x,îj)
or.
"s/ f ^ f '\ f T OC^ {
■^ = ^x ^ y x^y = f'x jr^yy
en vertu de l'équation f[x,y) = o ; on a donc
l{œ,y)= I ^1^-^l^-dx,
et
\,-.-k{cc,y)= / - — ^^^^ '^-tltdx. (60)
L'ensemble des termes du plus haut degré dans le numérateur sera
PxC^%!/) - Q^'xO'y - XV/.) (61)
à condition que le degré de ^ soit p — m -+- 2 ; nous devons disposer de X de manière à faire disparaître ces termes. Le
Calcul infinité sdu 5
gg CHAPITRE I
théorème d'Euler relatif aux fonctions homogènes donne l'identité
x^'^'x -^ y^'y = fjo — m -1- 2)X,
et l'expression (61) devient
a;Pi — (j3 — m + 2)Xa^, + {yo'y -j- œ^'^)l'y
ou
a^Pj — {p — m H- 2)1^' y + m^Vy
Si cette expression est divisible par cp, en appelant Q le quotient et retranchant du numérateur de l'intégrale dans (60) le produit QX/ qui est nul par hypothèse, on aura réussi à faire disparaître, dans (60), les termes de degré p. Tout revient donc à exprimer que l'expression (62) est divisible par cp ou, comme cf ne contient pas x en facteur, que
«•?! — (i? — m H- 2)Xcp'j/,
s'annule identiquement lorsqu'on y remplace x par les m racines — - ?/ de <? ; il faut pour cela que X contienne m coef-
ficients au moins ou que son degré p — m -\- 2 soit supérieur ou égal km — 1, ce qui donne
-p — w-i-2>'m — 1 ou p>> 2m — 3.
Ainsi l'on pourra diminuer le degré dans les intégrales Ii tant qu'il sera supérieur à 2m — 4, ce qui démontre le théorème.
57. Le cas où le dénominateur contient une puissance de X — « est plus compliqué ; il se subdivise immédiatement en deux, suivant que les m points d'intersection de la courbe f{x,y) avec la droite x = a sont distincts ou non. Nous ad-
DES INTEGRALES INDEFINIES 67
mettrons comme démontré (*) le lemme suivant : toute €0urbe ^{x,y) = 0, passant par les points communs aux deux courbes f{x,y) =0 et g{x,y) = 0, peut se mettre sous la forme suivante dans laquelle A et B désignent deux polynômes en œ ei y
* = Af{x,y) -h Bg (x,y) = 0,
lorsque les points communs sont simples sur chacune des courbes ; en d'autres termes on a, dans ce cas, aux points de rencontre des courbes * et /"
B étant un polynôme en a? et y.
Cela posé, supposons d'abord que la droite Xz= auQ touche la courbe f{x,y) en aucun point. Nous allons, par analogie avec ce qui a été fait précédemment, chercher un polynôme '^{x,y) tel que
^ix,y) ^^ Xx^y) {cG — aff^ {x — af
devienne une nouvelle intégrale où le dénominateur ne contienne plus X — a qu'à la puissance a — 1. Comme l'on a
dx
{X - a) (X'JJ - \\/J) - (g - 1) X/;/
{x — af
^'yfx )
[x — afC {*) NÔTHER, Math. Annalen, t. VI, p. 352
la différence précédente s'écrira
{x-affy'
Pour que le numérateur soit divisible par x — a (en tenant compte de la condition f[x,tj) = 0), il suffit que
p + (a - i)À/;; le soit. Or, d'après le lemme, si la courbe
passe aux points de rencontre de la courbe f{x^y) avec la droite a? = «, on peut toujours mettre
sous la forme d'un polynôme en ^ et y (formule (63). Il suffit donc d'exprimer que la courbe (64) passe aux points précédents, ou que le premier membre de (64), dans lequel on a fait X = ttj est divisible par f{a,y) ; ces conditions s'exprimeront sans peine, si Ton a choisi pour X un polynôme de degré m — 1 en ?/ seul, parce que fy'{ci,y) est différent de zéro.
On pourra appliquer ce procédé de réduction tant que a n'aura pas la valeur un.
58. Considérons enfin le cas où la droite a: = « est tangente à la courbe f(x,y), au point [a,y^), les autres points (^52/2)» i^^yù-" yi^fl/m-i) étant différents et distincts. On a alors f'yi{^,yi) = 0, et le raisonnement précédent n'est plus applicable.
Nous retrancherons alors de l'intégrale à réduire la quantité.
DES INTEGRALES INDEFINIES 69
et nous essaierons de déterminer X de manière que
[x - a)?[x,y) + aX/;; — (00 -a) (k'^fj — 1\JJ) (65) soit divisible par (x — «)2.
Il faut d'abord que 7^rzi~'â P"^^^® ^^ mettre sous la forme d'un polynôme, en tenant compte de la condition f{x^y) = 0 ; comme f'y^[(i,y^ = 0, nous pouvons prendre
^ = (2/ — 2/i) [y — 2/2) (!/ — ym-^v-[y). (66)
\3.{i]) étaat un polynôme en ij. La courbe \f'y = 0 passera bien par les points communs à la courbe /et à la droite x =a, le point {a,y^) comptant pour deux, et en vertu du lemme
\f' (formule 63), ~zzr^ sera un polynôme en x et y.
Il faut ensuite que
puisse être à son tour mis sous la forme d'un polynôme, ou que la courbe
passe par les points communs à / et à la droite x = a, et touche cette droite au point [a,y^). Exprimons d'abord que la courbe (67) passe aux points («,y,), [a,y^... («,y,„i). Pour cela, il faut remplacer, dans l'équation (67), X par sa valeur (66), ce qui donne
P(^'^) -^ -^ziTa ^y — Vi) (y — y^)-iy — y^n-My) j
-^{y — yi)iy — yù--{y — ym-iy{y)fj > (68) -^ v-{y)f^ ^j(y — yi)--{y — y>n-,) = o. ]
Lorsque nous ferons x .= a, y = y^ le dernier facteur
devient [y^ — y^) {y, —y^)... {y, — y^- i) ; quant au second terme, il renferme une expression, en apparence indéterminée
dont nous allons chercher la vraie valeur. L'équation de la courbe attachée à l'intégrale peut s'écrire en appliquant la formule de Taylor et en tenant compte de ce que, par hypothèse /(«,?/i) = 0 et fy{a,y^ = 0
f{x,ij) r= 0 = (a; — a)fj{a,y,) 4- 5 (a? — aflWa,y,) J
^{x — a){y — iji)f\,y{a,y,) -^ ^^y - y,ff\Aa,y,) + . . . ; j
On a de même
fvi^^y) = {oo~ a)f\,y{a,y,) + {y — ydf"x,v {a,yd -^ ... et, en tenant compte de (70),
^'^ "J-'}'"'^^ = - 2/x'(«,y.) - (^ - ^VJWjù
— (î/ — 2/i)/%(«.2/i) -^ ••• La vraie valeur de (69) est donc
-2/;'(a,y,) et la condition cherchée s'écrit
P(«j2/i) + (1 — 2(x) (î/i — y,)...{yi — ym-v) A'(«.yi)K2/i) =0.
Comme, par hypothèse, le point {a,y^) est simple, /;'(a,î/i) n'est pas nulle, et l'équation précédente fait connaître [Ji(yi). De même, en faisant dans l'équation (68) a; = a et r/ = î/j, on trouvera
p(«.2/2) -^ (1 — a) (2/2 — yi)--{y^ — ym-,)fAa,yMy-2) = O;
celte équation déterminera [j-iy^)) à condition que fj{a,v^ ne
DES INTEGRALES INDEFINIES 71
soit pas nulle, c'est-à-dire à condition que la tangente au point a,y^ ne soit pas parallèle à ox ce qu'il est toujours possible de réaliser par un choix convenable des axes. Voilà donc déjà
déterminées ; il reste encore à exprimer que la courbe (68) touche la droite x r= a au point {a,y^), ce qui déterminera \i.'{yi). A cet effet, exprimons que la dérivée par rapport h y du. premier membre de (68) s'annule quand on y fait cg = a, y := y^; on voit sans peine que le coefficient de iJ-'(yi)i ^e seul intéressant à considérer, est
2(1 a) {y, — y,) [y, — ij,)...iy, — ym-i)f'J(a,y,).
Ce coefficient n'est pas nul, tant que a est ditlérent de l'unité. On pourra donc déterminer (ji'(?/J. On est enfin ramené à un problème tout à fait simple d'interpolation, à savoir : déterminer un polynôme ix(^y) connaissant les valeurs qu'il prend pour y = t/j, y^...y,n i, ainsi que la valeur de sa dérivée pour y = î/i. Soit, par exemple, ^i{y) le polynôme d© degré m — 2 fourni par la formule de Lagrange (27) et qui prend les valeurs données pour y = yy, y,^... ; on pourra prendre
'Ay) = <y) + C(l/ — y,) (y — y^)...(y — ij^^),
la constante G étant déterminée par la condition
k'(2/i) = v'(yi) + C(t/i — y,). ..{y, — ym-i)'
59. Le raisonnement du n° précédent tomberait en défaut si l'on avait fj{a,yi) = 0, c'est-à-dire si le point {a,yC) était double. Il faudrait dans ce cas retrancher de l'intégrale abélienne une fraction rationnelle de la forme
X(a;,î/) étant un polynôme à déterminer. Nous ne donnerons pas le détail du calcul qui se trouve dans le Traité d'analyse de M. Picard, tome I; ce qui précède suffît amplement pour faire
comprendre l'esprit de la méthode, et nous admettons comme démontré que l'intégrale
dx
peut, par la soustraction d'une fraction rationnelle convenablement choisie, être ramenée à l'intégrale
^^^^^,dx
{X — a)fy'
Q désignant encore un polynôme. On peut même supposer que la plus haute puissance de y dans ce polynôme soit 2/'"~S en tirant ^'" de l'équation f{x,y) = 0 autant de fois qu'il sera besoin. Enfin l'on peut écrire
(à{oc,y) = Q(rt -^ X — a,y)
et l'intégrale précédente sera une somme d'intégrales telles que
" ^^^,dx
{X — a)fy' où R{y) est un polynôme en y de degré m — 1 au plus.
Intégration des fonctions rationnelles de sin ap et de cos ûP
60. Les fonctions trigonométriques de sin x et de cos x se rattachent immédiatement aux fonctions algébriques. On sait, en effets qu'il suffît de poser
tang ~ = t,
DES INTEGRALES INDEFINIES 73
pour exprimer sin a?, cos x^ tang x en fonctions rationnelles d'un même paramètre t\ les formules de transformation sont
sma7 = j-p^, cosa!; = |-^2, %>^ = î-ir72» «^^=171^72 ("1)
L'intégrale
R(sin X, cos x)da;
est donc ainsi transformée en une intégrale de fonction rationnelle.
Soit, par exemple, à intégrer
Ir:=
/dx sin iv'
La transformation qui vient d'être indiquée donne immédiatement
I = / -^ = log f = log tang -|.
61. Il existe d'autres procédés, souvent plus rapides, pour arriver à l'intégration des expressions trigonométriques. D'abord il sera toujours possible, par les mômes moyens que ceux employés pour rendre rationnel le dénominateur d'une fraction, de n'avoir au dénominateur que des puissances paires de sin ^ et de cos .a?; par suite, on pourra toujours ramener l'intégration à celle des trois intégrales suivantes :
, I PjSin xdx
y I PgCOS ocdsc
dans lesquelles P^jPj et Q^.Qa sont des polynômes ne contenant que des puissances paires de sin x et de cos x, tandis que P est un polynôme où les puissances peuvent être impaires, mais où le degré total de chaque terme en sin x et en cos œ est pair.
Cela posé, pour intégrer T^, on posera
lang ce = t,
d'où
/ l y dt
sin ce = —■ , cos x = -, , dx
Il est évident que la différentielle q dœ sera transformée en
une différentielle rationnelle.
Pour intégrer I^, on posera
cos a? = if d'où — sin xdx = dt ;
enfin, pour intégrer Ig, on emploiera la substitution
sin X = t.
Soit^ par exemple, à intégrer
dos
a sin X -h b cos x
DES INTEGRALES INDEFINIES 78
Cette intégrale peut s'e'crire
•(.sin.--.cos.)rf. ■
sin xdx j i cos xdx
a'^^sin^^ — ô^cos^o? / a^sin-j; — ô^cos^a?
et l'on voit sans peine qu'elle a pour valeur
a cos X —
lof
£,s/u ^u / cos a? + \ (sina?
Si l'on pose
-, = cos cp, = sin cp,
la dernière expression prend un aspect plus élégant
■ log tang ^-4^.
On aurait d'ailleurs pu introduire l'angle] cp dès le début ; rintégrale aurait pris la forme
d{pG -h cp)
y/a2 ^ ^2 / sin (a? -h cp)'
et l'on reconnaît ainsi l'intégrale qui a été calculée au n" précédent.
6S. Les intégrales
I,„^„ = / sin'"a; cos'^a? dx
76 CHAPITRE l
méritent une étude spéciale. Nous avons déjà dit (n*^ 40) qu'elles pouvaient être rattachées aux intégrales de différentielles binômes irrationnelles.
On peut encore, en remplaçant un certain nombre de fois les expressions sin px sin qx, sin joa; cos qx, et cos fx cos qx par des sommes ou différences de sinus et de cosinus, réduire l'expression précédente aux intégrales
sin Tix dx et | cos kx dx
qui ont pour valeurs respectivement
— 7 cos kx et V sin kx.
Mais il est plus élégant, et la plupart du temps plus rapide, d'opérer sur les intégrales !,„.„ une réduction analogue à celles que nous avons déjà plusieurs fois effectuées.
Nous écrirons
J^^^ = 1 sin"*ir cos X àx. cos"" ^x,
d'où, en intégrant par parties,
sin™ ~^ ^x 71 1
L, „ = j- cos"-*j; H r / sin™ + ^a; cos'^-'^^ dx,
et, comme
sin™+^a? = sin'"a7 (1 — cos^;z;-), y sin'" + *a; ces"— 'a;' 7i — 1 r^ , -i
On a donc enfin
. sin'"+ ^x cos"-^a; n — 1 ^ ,«ç,v
DES INTEGRALES INDEFINIES 77
L'application répétée de celte formule permettra de réduire l'intégration au cas où n = 1 ou au cas où n = 0. Si « = 1, l'intégration est immédiate :
I,„ , = 1 sin'"^-' cos ce ax = i- .
Si n = 0, on est ramené à intégrer
Pour cela^ écrivons J„j= I sin™~2j;(l — cos^x)dx=3m-2 — / sin™ "^jjcQg^CQg^,^^. en intégrant par parties la dernière intégrale, on a
sin'""~'a7
cos X -+-
sin"^~'x. siii x dx
et en portant cette valeur dans la formule précédente, on obtient
, sin'"~^j? cos X 1 y
d'où la nouvelle formule de réduction
J,„ = J,n- 9 siii'"- Kv cos X (73)
Cette formule permettra.de ramener l'intégration à celles
qui correspondent aux cas de m = 0 ou m = 1, et qui sont immédiates :
iXJj ■ tXj
Jj = / sin X dx r^ — cos x
Il est clair qu'on aurait pu procéder de même en commençant par diminuer l'exposant m dans !,„,„ ; on aurait alors
rencontré des intégrales, telles que I cos"5? dx, qu'on aurait
traitées comme J,„.
Remarquons enfin que la formule (72) pourrait être employée comme formule de réduction dans le cas de n négatif : il suffirait de la résoudre par rapport à !,„,„ j. Même observation si m est négatif.
63. Une dernière méthode consiste à introduire les exponentielles imaginaires par les formules connues
QlX i^ Q-iX ^ ^ Q-iX
COS a? = fï , sin a? = ^. . (74)
Le coefficient différentiel devient alors fonction rationnelle de é"" et peut s'intégrer comme on le verra dans la section suivante. Nous nous bornerons ici à déduire des formules (74) les expressions de cos'".r, sin'",r en sinus et cosinus des multiples de l'arc.
On a en effet
omix I C0S™a7 =
me('«-2)'^ + — ^-^^^^ — ^ e(™-'^)'
2»î Or la première formule (74) donne
^mix | Q-mix - 2 C03 mX \
DES INTEGRALES INDEFINIES 79
on aura donc
2*"- ' cos'"^=cosma;-f-?wcos(m— 2)^H ^^ -' cos(m— 4)xH-. . . (75)
et dans cette formule le dernier terme devra être divisé par 2, si m est pair.
De même
77ï\7}2 '— 1 I e^ix ,^g(m— 2)i> , \^ L e(m-4)ù-j ^__ | (^ iy»g-mte
sin X =: - 9hi^-))i " '
Si m est pair, on aura, en ayant toujours soin de diviser par 2 le dernier terme,
(—1) ^ 2" — *sin'"a; = cos mx — m cos(?w — 2)x ,
H ■■ — -' COS [m — i)x ;
Si m est impair, on aura
( — 1) 2 2'"-*sin'"a; = sin mx — m sin (m — 2)a) .
A l'aide de ces formules, l'intégrale !,„,„ du n° précédent est immédiatement ramenée à des intégrales telles que
sin px cos qxdx, J cos px cos qxdx
et comme
2 sin px cos qx = sin (p + q)x -\~ sin (^3 — q)x, 2 cospa; cos q.x = cos (p -f- q)x -h cos (p — q)Xf
l'intégration peut être considérée comme achevée.
Exemple :
I sin^^ cQs'^sodx = m in ^os Ix -h ^ cos ^x — 2 cos 3.r -h 6 cos a; j
Intégrales où figurent des exponentielles on des logarithmes
64. Le cas où l'intégrale ne contient qu'une expression rationnelle en e^ n'offre aucune difficulté. On posera
e^ = y d'où dx ^= —
et l'expression à intégrer sera devenue une expression rationnelle en y.
6o. Soit maintenant à intégrer
En intégrant par parties, on aura
l„j = a;"'e^ — m 1 x'''"--^e^dx ou
L'application répétée de cette formule conduit rapidement à la suivante
