Soit à intégrer l'équation

ap -\- hq = 1 (9)

dans laquelle a et 6 sont des constantes données et p et q les

■dérivées partielles r^ > -^ .

^ ^x hy

11 faut d'abord (n° 539) intégrer le système

dx di/ ds

■€6 qui donne

X — as' = C, >/ — bz = G'.

Si donc on désigne par* le symbole d'une fonction arbitraire^ on aura

'i>{co — as, y — 5c) = 0 (10)

pour l'intégrale générale de l'équation proposée (9).

On démontre en Géométrie analytique que l'équation (10) représente l'équation générale en termes finis des surfaces cylindriques dont les génératrices ont une direction donnée.

1" Supposons que l'on veuille déterminer la fonction arbitraire par la condition que la surface cylindrique passe par une courbe dont on donne les équations

On posera

X — az ^=- II., y — hz =^v\

ce qui permettra de mettre les équations (11) sous la forme ç [il -\- az, V H- hz, ^) = 0, <!; {u — az, V — hz, ^:) = 0 d'où résultera, par l'élimination de z, une relation telle que

F sera la forme particulière de * qui répond à la question.

2° On peut vouloir déterminer la fonction arbitraire par la condition que le cylindre soit circonscrit à une surface dont l'équation

est donnée.

On ramène la question à la précédente (1°) en cherchant la courbe de contact. Or l'équation (12) est déjà une des équations de cette courbe et il suffira de trouver une seconde équation. On l'obtiendra en exprimant que la surface (12) et le cylindre ont le même plan tangent en tout point œ, y, z de la courbe considérée. Or, en identifiant les équations de ces

deux plans

on aura

ÔC3 ■ ÙCP „

jr 4 rt' -'- = 0,

d'où, en portant dans (9) les valeurs de /? et de §' tire'es de ces deux équations

i)x ^y Re-

cette équation et l'équation (12) déterminent la courbe de contact.