Soit à intégrer l'équation

{cy — bz) p -^ (az — ex) q = bx — ai/. (17)

Il faut d'abord intégrer le système

dx dy dz

cy — bz az — ex bx — ay'

Or si l'on désigne par ^/Ha valeur commune de ces rapports^ on a

dco = (cy — bz) dt \

dy = (az — ex) dt > (18)

dz = \boG — az) dl )

Si l'on ajoute ces trois équations après les avoir multipliées respectivement d'abord par x, y, z, puis par a, b, c on a, en intégrant, ,

x"- -\- if ^ ï- = G ax -h by 4- cï = C

et par suite^, l'intégrale générale de l'équation proposée (17) sera

ax -^- by -h cz r= <P (x- -+- y^ -+- .s-).

C'est l'équation générale en termes Unis des surfaces de révolution.

545, Trouver la surface dont les normales rencontrent Vaxe Oî et qui coupent le plan des zy suivant un cercle ayant pour centre l origine et pour rayon une longueur donnée \\.

Cherchons d'abord l'équation différentielle des surfaces dont les normales rencontrent 0:; ; il suffit d'examiner que la projection

de la normale sur le plan jrO?/ passe par l'origine, ce qui donne

py — qx ^=0. (19)

Pour intégrer cette équation, il faut intégrer préalablement le système différentiel

dx dy dz y X Ô ■

On ohtient pour le système intégral

u^x"' -^\f et v = z, (20)

et, par suite, pour l'intégrale générale de l'équation (19),

z = ^ [x- -i- y^) * désignant une fonction arbitraire.

Il reste à déterminer * de façon que la surface en question passe par le cercle donné, c'est-à-dire de telle sorte que pour a? = 0, on ait z = \/r^ — y-. A cet effet on porte yces valeurs dans les équations (5), ce qui donne

d'où, en éliminant t/,

enfin, en remplaçant u et v par leurs valeurs primitives (20), on obtient

OG^ -+- l/ -^ z^ = R^

La surface cherchée est donc la sphère qui a l'origine pour centre et R pour rayon.

Equations aux tlîff'érentîelles totales