On donne ce nom à toute équation de la forme

Pdx H- Qdij H- Rdz = 0 (21)

où P, Q, R sont des fonctions données de x, y, z.

L'étude de cette équation nous permettra de continuer la théorie de l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre.

On dit que l'équation est intégrable lorsqu'il existe une relation

telle qu'en la difïérentiant, on obtient une équation /- dx -\- ^J- dy -\- -J dz ■■= a

^X ô?/ "' ôJ

qui soit identique avec (21) eu égard à la relation (22).

Nous nous proposons ici d'abord de chercher cette condition d'intégrabilité, puis, lorsque cette condition est satisfaite, de donner le moyen de trouver la relation intégrale.

547. Théorème. — Pour que V équation (2\)soii intégrable, il faut et il suffit quon ait

En effet, considérons l'expression Q c??/ H- R dz dans laquelle nous regarderons x comme un paramètre. On sait qu'il existe un facteur jji, tel que l'expression [a(Q dxj h- ^dz) soit la différentielle exacte d'une fonction

des deux variables ?/ et ^ et dans laquelle figure, aussi bien que dans [ji, le paramètre x.

Cela posé, substituons à la variable y la variable it définie par la relation (24) ; on aura

du=^ — dx -\- ~ dti H- ^ dz ^x ôy '^ dz

ou, comme par hypothèse

il vient

du 'i- dx ■= \^ [().dy -^ "^dz).

en sorte que l'équation (21) devient

\t.^dx -\- du -^ — i o?a; = 0

du — lidx == 0 (25)

Calcul isfihitésimal 43

en posant

expression dans laquelle on suppose que y a été remplacé par sa valeur tirée de (24).

Or, s'il existe une relation intégrale (22) de l'équation (21), en faisant dans celte relation la transformation précédente, c'est-à-dire en y remplaçant y par sa valeur tirée de (24) on aura une relation

dont la différentiation donnera une équation

- ■ du -\ — - dx -[ dz =^0 (28)

ÔM hX ^Z

qui devra coïncider avec (25), eu égard à (27). Or l'équation (25) ne contient pas dz ; donc il doit en être de même de (28) ; par

suite — - est nul, en d'autres termes F ne doit pas contenir z,

oz *• '

c'est-à-dire que, par la substitution de y tirée de (24) dans l'intégrale (22), z doit disparaître de lui-même en même temps que y; par suite, en différentiant cette transformée, on aura une équation dans laquelle s ne figurera pas du tout ; et comme cette équation ne doit pas différer de (28), il faut que K soil indépendant de z. Cela suffit d'ailleurs, car si K ne contient pas s, on pourra intégrer la trane-furmée (25) qui est une équation du premier ordre à deux variables u et x, ce qui donnera

par suite en remplaçant u par sa valeur (24), c'est-à-dire faisant la transformation inverse, on aura

fi (1^' x) = G ou cp {x, y, z) = G

pour la relation intégrale de (21).

Ainsi la condition nécessaire et suffisante est que^ soit indépendant de z. 11 reste à développer cette condition, c'est-à-dire à Vexprimer en fonctions des données P, Q, R.

A cet efîet^ rappelons que K est ce que devient [^P — -^

après qu'on a remplacé dans cette expression y par sa valeur tirée de (24), ou, ce qui revient au même, sans faire la substitution lorsqu'on y regarde y comme une fonction de x, u et z définie par (24). K est alors fonction de z d'abord directement puis indirectement à cause de y, et pour écrire queK est indépendant de z^ il faut écrire que sa dérivée complète par rapport à z est nulle, c'est-à-dire qu'on a

^^ étant déduit de l'équation (24), c'est-à-dire étant fourni par

la dinérentiation de (24) par rapport à y (u et x restant alors constants) ce qui donne

by bz 'dz '

et par suite, en substituant celte valeur de :^ dans la précédente.

i>z ^>y î>y bz

En remplaçant K par sa valeur (26), cette condition prend la forme

ou

& (l-iP) \^y/ ô y i<x

mais on a

La condition devient donc

on la rend plus symétrique en lui ajoutant l'expression

qui est nulle en vertu des relations (29). On a ainsi

p [i(t^) ô o^)"| , Q r^p) __ iM)!

En effectuant les différenliations et réduisant, |ji disparaît et il reste pour la condition cherchée la relation énoncée (23).

548. On voit qu'il ne faut pas confondre la condition d'inlégrabilité de V équation Pdx -\- Qdx -{-Rdoo = 0, avec la condition d'intégrabilité de V expression Pdœ h- Qdx -h Rdœ ; tandis; que la première est unique^ la seconde est triple car elle se

j , . ,.,. ôP ôQ ôP ôR ôQ ôR .

compose des trois conditions s^= Si ' gj = si ' S"y = SF • ^"^^^

bien, on devait s'y attendre d'après ce qui était arrivé dans le cas de deux variables : 11 y aune condition pour que Vexpres-

sïon "iKdx -h Nofi/ soit intégrable (c'est ~ = -■-], tandis que

réquation Mc^a^H- ^dy = 0 admet toujours une intégrale.