La démonstration précédente indique la forme
o (se, y, z] = constante arbitraire
delà relation intégrale de l'équation (21); mais elle donne même la marche à suivre pour la trouver lorsqu'elle existe. On commencera par chercher la fonction w = '| [x, y, z) eipar suite le facteur i^t ; puis on fera le changement de variable indiqué, ce qui donnera l'équation différentielle (25) entre uetx; on déterminera son intégrale f^ (u, oc) = C, d'où résultera fi {<!!>, cg) = G pour l'intégrale cherchée.
Toutefois voici un procédé plus simple pour intégrer l'équation (21) lorsque la condition (23) est remplie :
550. Problème : Intégrer l'équation (21) lorsque la condition (24) est remplie.
étant l'intégrale inconnue, on a
-^ dx -\ — - dit -\ — ^- dz ^=^
XiX i)ll "^ ^z
et par suite, en comparant avec la proposée,
Ll© l>Cp ÔCp
et enfin, à cause de la condition (3) qui est remplie par hypothèse,
îP*Q\»^ = 0. (30)
C'est une équation linéaire aux dérivées partielles à laquelle doit satisfaire la fonction cherchée «?. C'est même une équation sans second membre et dont les coefficients ne renferment pas cp, en d'autres termes c'est une équation de la forme de celles considérées dans le lemme du n° 24. On sait que la solution générale de cette équation est une fonction arbitraire
TT (a, P)
ôQ
ôR\ ôcp /ôR
ôP\ ôcp
bZ
étant le système intégral des équations simultanées
dx dy dz
ôQ ôR = aRôP = ôP^ôQ . (32)
ô^- S^ ôjy û^ ÔJ/ 007
La fonction «p doit donc rentrer dans le type t. (a, p) et par suite l'intégrale <f (a?, y, z)^=c de (21) sera
F étant une fonction (non plus arbitraire comme tt) mais choisie de façon que l'équation
ftF ôF
obtenue en la difïérentiant, coïacide avec la proposée (21), eu égard à (33). En d'autres ternies, si l'on substitue aux variables X Qi y Q.i k leurs différentielles dx, dy dans la proposée, leurs valeurs tirées des relations (31) et de celles qu'on en déduit en les difïérentiant, on devra tomber sur l'équation (34) ; mais 3i) n3 contient que les seules variables a et p ; donc par l'effet de la transformation indiquée la transformée de (21) ne contiendra plus ni z m dz \ elle sera de la forme
Ac^a -f Bc/p = 0 (35)
A et B étant des fonctions de a et de p seulement. En intégrant cette équation (33), on aura donc F (a, P) = G et par suite F (/i, Q = c pour l'intégrale cherchée de (21).
De là résulte la 7'ègle pratique :
Cherchez le système intégral (31) des équations simultanées (32) et transformez l'équation différentielle proposée (21) en substituant^ à Vaide des relations (31) les variables a.et^ aux variables xety\ la transformée sera de la forme (33) {z disparaîtra de lui-même) ; intégrez la, et, dans son intégrale F (a, p) = G, remplacez 'J. et ^ par leurs valeurs (31) en x, y, z : vous aurez V intégrale de la proposée.
Exemple :
zdx -V {x -\~ afdy — [x -i- a) c?;? r= 0;
système (32)
dx dy dz
système intégral
a, = X, p = (a + a) y — z d'où
a? = a, '/ = , dx = aa,
En substituant dans la proposée, on a
sdo. ~t- (a -^ a) {dz -\- d^) — [z ~ ^) dy. — [a -\- a) dz = 0 qui se réduit à
(a + a) ^P — Pc^a = 0
ou
d^ da ç.
et en l'intégrant
l<^ — Z (a + a) = 1. const.
ou
Equation non linéaire aux dérivées partielles du premier ordre ; cas de deux variables indé-
jjendantes
