L'équation à intégrer a pour type

F {oc, y, z,p, q) = 0 (36)

où p et q désignent les dérivées partielles p := —, q = — .

La méthode à suivre pour intégrer cette équation consiste à en chercher d'abord une intégrale complète; on nomme ainsi, d'après Lagrange, une solution renfermant deux constantes arbitraires (c'est-à-dire un nombre de constantes arbitraires égal à celui des variables indépendantes, qui ici sont les deux variables x ei y). Ue cette intégrale complète, on déduit ensuite V intégrale générale.

55"^. Recherche d'une intégrale complète. Pour obtenir une intégrale complète, on cherche d'abord une équation

? (a;, y, z,p,q) = cL (37)

(où a désigne une constante arbitraire), qui soit telle que les valeurs de jo et de ç' déduites du système (36) et (37) et portées dans

dz — pdx — qdy = 0 (38)

rendent intégrable cette équation (38) aux différentielles totales. Nous allons voir qu'il suffit que cp satisfasse à une équation linéaire aux dérivées partielles ; on déterminera donc îme solution de cette équatioQ linéaire, ce qui fournira la relation (37), et puis, après avoir tiré /? et $' de (36) et (37) et

porté dans (38) ces valeurs qui contiendront déjà une constante arbitraire a, il ne restera plus qu'à intégrer Téquation aux différentielles totales (38) ce qui introduira une nouvelle constante arbitraire ? ; on aura donc bien ainsi une solution contenant deux constantes arbitraires, c'est-à-dire une intégrale complète.

Entrons dans les détails :

Cherchons d'abord la condition d'intégrabilité de l'équation (38), p ei q n'étant plus donnés directement en x, y, z mais déterminés par les équations implicites (36) et (37),

La condition d'intéorrabilité

'JD'

/ôQ ôR

se réduit ici, (puisque P = — p, Q = — q, R=l)à

-2- — q -^ — -i-|-2- = 0 ou — -\-q — = '~-JrP —

bz 'àz by bx 5i/ ^ ôî boo ^ hz

que nous conviendrons d'écrire

ôp bq

dy i)X

(Il importe de bien se familiariser avec cette notation qui simplifie l'écriture : en général, w étant une quantité quelconque^ nous désignerons

par^^lexpression-H-/^-, etpar~lexpression- + g-j.

Pour trouver la condition cherchée, il suffit de tirer par

bw i>0

différentiation ^ et ^ des relations (36) et (37) et de porter

dans (39).

Or en difîérentiant chacune des relations (36) et (37) d'abord

par rapport à x, puis par rapport à ?/, on a les 4 équations

ùF ôF ôp ôF ôg „

W ÔF Ô^ ÔF ^ r.

ôy "^ D^ ôy "^ ôg' ôy ~

by dp ôy îig' ô;/

où entrent ;=^ et -^ mais aussi r^ et -^ dont nous n'avons que

faire; il faut donc éliminer ces quatre quantités entre les 5 équations (39), (40), (41), (42), (43). On y parvient élégamment en ajoutant les équations (40), (41), (42), (43) après

les avoir multipliées respectivement par r^> ; > — ^; — 5ô ' ^"^ obtient ainsi (en ajoutant par colonnes)

"ôF ôcp "ôcp ôF ôF ôtp "ôç ùF ^ .... '- — -1- — |— -T ï .=-0 (44)

057 hp bx bp ô?y ôg ôy ôg ^ '

les autres termes se détruisant à cause de (39),

Telle est la condition cherchée ; la forme abrégée (44) étant développée en faisant retour aux notations ordinaires est

ôF\ ôcp /ôcp ôj \ ôF /ôF ô F\ ô|

^ ^ZJ dp \ô^ ^ dzj ôjO ~^ \bl/ ^ dz / i)p

ôF

OU, en ordonnant par rapport aux dérivées partielles de tp,

5F ôç ôF ôo» / ôF 5F\ ôtf) /ôF ôF\ ôcp

Telle est l'équation linéaire aux dérivées partielles à la-

quelle il suffit que ç» satisfasse, c'est-à-dire, dont il suflit deconnaître M?ze- solution.

Cela posé, rappelons que pour intégrer cette équation, on considère le système d'équations différentielles ordinaires simultanées

dx dy dz- dp^ dq

ùp '^ ^ dp '^ '^^ ^q \^x "^ ^ Ù2-/ \di/ '^ dzj

et l'on sait que si / (./', i/, z^ = a est Viine quelconque des intégrales de ce système, la fonction / est une solution de l'équation (44).

On déterminera donc ?/«e intégrale /"(a;, y, s) = a du système

(45) (celle que Ton trouvera le plus aisément) et en prenant o = f, on aura l'équation cherchée (37). En d'autres termes 0)1 adjoindra à V équation proposée l'une des intégrales du système (45) et l'on aura ainsi deux équations d^oii l'on tirera p et q, pour les porter dans (38). // ne restera plus alors qu^à intégrer cette équation aux différentielles totales pour avoir une solution de (36) de la forme

p étant une deuxième constante arbitraire ; ce sera une intégrale complète de l'équation proposée.