Recherche de r intégrale générale
Désignons par
l'intégrale complète qu'on vient de trouver. Puisque c'est une solution de (36), c'est que l'élimination de a, p et q entre (36),
(46) et les deux relations
nx dz' o y ^ i,z ^ ^
qui résultent de la différentiation de (46) successivement par
rapport k ,x ei k y, conduit à 7ine identité ; les lettres a et P disparaissent donc d'elles mêmes par le fait de cette élimination de z, p et q.
Par suite la même chose arrivera quelle que soit la signification de ces lettres pourvu que les relations (47) conservent la même forme, en sorte que (46) ne cessera pas d'être une solution de (36).
Or si l'on suppose que a et P au lieu de représenter des constantes représentent des fonctions à'x et à.'y, les relations obtenues en difîérentiant (46) successivement par rapport à x ei k y seront
"' ôy "•" ô^ ^ "^ ôx f>2/ "^ ôNy ~ "
Pour qu'elles se réduisent à (47), il sufiit de poser
0, T^.-^Và==^- m
ôa ix
ôp hx
Telles sont les conditions que doivent remplir les fonctions a et ? pour que (46) soit encore une solution, lorsqu'on y considère a et P comme des fonctions d'^ et d'y. On en déduit,
(en multipliant la l""^ par —, la 2= par — et retranchant)
iix ôa?
àx i»j hx hy
ce qui d'après la théorie des déterminants fonctionnels exige que [3 soit une fonction de « ; on posera donc
p = TT (a)
•71 étant une fonction arbitraire ; les relations (48) se réduiront alors à une seule
i)<\i ôa ôa ^x
-jr 7Z (et) =0
ô^ ^ ^ dX
ôa ôt
et l'intégrale résultera de l'élimination de a et P entre (46), (50) et (35). L'élimination de P peut seule être effectuée tant que tt reste arbitraire, et pou7' représenter l'intégrale ^ il faut conserver le système des deux équations
ôa ÔTi; ^ ^ /
cette intégrale renfermant une fonction arbitraire a reçu le nom à' Intégrale générale de l'équation (36).
On voit qu'on obtient Vintégrale générale en remplaçant clans une intégrale complète, l'une des deux constantes p par une fonction arbitraire tc (a) de l'autre a, et adjoignant à cette équation sa dérivée par rapport à «.
