Conclusions ; Intégrale singulière

Nous venons de trouver une solution de (36) renfermant une fonction arbitraire. Mais n'existe-t-ilpas d'autres solutions de (34) en dehors de cette intégrale générale ?

[L'intégrale complète dont nous sommes parti n'est pas une solution distincte de l'intégrale générale ; elle y est renfermée; elle répond, en effet, au cas où l'on considère a comme constant et où l'on prend pour la fonction arbitraire it (a) une

constante P, car alors — r= 0 et l'équation (31) qui a fourni

la 2® des relations (32) disparait.]

Pour répondre à cette question nous démontrerons d'abord le théorème suivant :

Toute solution de Féciuation proposée (36) peut se déduire d'une intégrale complète quelconque en y remplaçant les deux constantes par des fondions convenables cTx et d'y.

Puisqu'il ne s'agit que de la démonstration d'un théorème, nous pouvons supposer que l'équation difiérentielle proposée

aussi bien que sa solution soient résolues par rapport à la fonction inconnue :;.

Soient donc

~ =F (x, y, p, q) l'équation différentielle, (!')

z ==. "^{x, y, a, P) une intégrale complète, (2')

- := G (a?, y) une solution quelconque. (3')

Puisque (2') et (3') satisfont à (!') , c'est que les deux relations

■ + (X, ,, ,, P) = F [,., ,, ^i(^!:|^.J) , ^1 (^ «JJ] (4/) 6(.,y)=F[.,,/A(^)/-ii|-ï)] (5')

sont des identités. Dans la première les lettres a et p doivent donc disparaître d'elles mêmes ; par suite cette équation restera encore une identité si l'on y remplace dans les deux membres « et P par des expressions quelconques en^ et y, et en particulier par les valeurs de a et de P qu'on tirerait de

mais alors les seconds membres des relations (4') et (5') sont les mêmes, il doit donc en être de même des premières; on a donc identiquement

0 [ûo, y) = ^ {x, y, a, P). (7')

Ainsi toute solution z ^=^{x, y) peut se déduire de l'intégrale complète z = '^{x, y, a, P) en y remplaçant les constantes « et j3 par les expressions ena? et ?/ tirées du S3^stème (6').

Ce théorème va nous permettre de répondre à la question posée ci-dessus.

En effet, en calculant -- , — d'après (6'), on a

£iô ^ b'ii ôa ^ b|3

bX bx ôa hx ôp ôa?

ô6 04; 0(1; ôa à<\i ôp

ôy ôî/ ôa ôî/ £>P f>y '

En portant dans (6'), on met cette équation (6') sous la forme

ôtj; ôa ô(]; bp ^

ôa ôj; ôP dx

ô(|; ôP ôi{; ô^ „

ôa ôy ~^ ôp ôy '

d'où l'on déduit, en éliminant tour à tour ri et r^ ,

ôp ôa

ôa ôa

bX ôy

ôa

ôp ôP

ô^ Nj

ô^j; ôp

ôa ôa ôx ô?/

ôp ôp

On conclut de là que l'on doit avoir, soit

ôa ôa

dX ôy ôP ô p bX 07/

soit

ôa

et

ôp

La condition (8') donne l'intégrale générale, comme nous l'avons vu.

Quant aux conditions (9'), elles donneront pour a et p deux expressions déterminées en ^ et y qui, portées dans (2') donneront une solution

sans constante ni fonction arbitraire. On donne à cette solution le nom AUntégrale singulière.

Ainsi, en dehors de l'intégrale générale^ l'équation proposée (!') ou (1) n'admet qu'une solution singulière, que l'on trouve d'ailleurs en éliminant les constantes a. et ^ entre l'intégrale complète et les deux équations qu'on obtient en différentiant cette intégrale complète successivement par rapport à x et à g.

►. Exemples :

1° Soit à intégrer l'équation

p cp(g) = 0. (53)

Le système (45) est ici

dz dy dz dp dq

T" ^ — ?' (?) ^ p — qi {q) ~~ "ô ^ T'

Une intégrale suffit ; nous prendrons q = «■ d'où p = '^ («), et il reste à intégrer l'équation aux différentielles totales

dz — cp (a) dx ■ — ixdy = 0

ce qui donne Vintégrale complète

Z = x^ (a) -+- ay -H p.

L'intégrale générale s'ensuit en posant p = 'l^ (°') et adjoignant à l'équation précédente la dérivée par rapport à a, elle est donc constituée par le système

Z T= xo {a) ^ aij -\- ^ (a) (54)

0 = xo' (a) -H î/ + ^' (a). (55)

La surface, dont l'équation en x, ?/, z, résulterait de l'élimination de a entre (34) et (55) est l'enveloppe du plan mobile représenté par l'équation (34).

2° Soit à intégrer

z — Kpq = 0 (56)

où K est une constante donnée.

EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DU PREMiER ORDRE 689

Le système (43) est ici

diV dy dz dp dq

\iq Kp 2 Kpq p q

Une intégrale suffit ; nous prendrons celle

qui résulte de la comparaison de la première et de la dernière fractions: On a alors

et par suite

dz = -h — Tf— du

L'intégration de cette équation aux équations différentielles totales donne Vintégrale complète (n" 530)

Kz={x-^){y-^) (57)

où a et p sont les deux constantes arbitraires.

On obtient Vintégrale générale en posant p z= (p (a) et en adjoignant à l'équation précédente sa dérivée par rapport à a ; cette intégrale générale est donc constituée par le système

Kz = (x — o)\y — ^ (a)] 0 = 2/ — cp (a) + («7 — a) cp' (a)

L'intégrale complète représente un paraboloïde hyperbolique ayant pour sommet le point («, p, 0), et, quant à l'intégrale générale, elle représente l'enveloppe des paraboloïdes en supposant que leurs sommets décrivent k courbe

Il y a une solution singulière ^ = 0 ; on l'obtient en élimi-

Caicul infinitésimal 44

nant a et p entre la relation (57) et ses dérivées par rapport à

a et p.

Remarques

556. Nous n'avons considéré que le cas de deux variables indépendantes ; c'est le cas le plus important au point de vue des applications géométriques.

Dès que le nombre des variables indépendantes* surpasse deux^ la méthode se complique beaucoup. Toutefois, la marche que nous avons suivie (n" 553) pour passer d'une intégrale complète à l'intégrale générale subsiste quelque soit le nombre n des variables indépendantes.

Soit

F('7i, ^,, qn, z, Pi,lh> Pn) = 0 (58)

une équation quelconque aux dérivées partielles du premier ordre ', q^,q.2, ... ^«sont les variables indépendantes z, la fonction et^j, p,, ... pn les dérivées

dZ ô^ i>Z

Soit, en outre,

fiÇi, ?2' Q»> ^^ «1' «2' ««) = 0 (!>9)

une intégrale complète de l'équation (38). On regardera Tune des ?2 constantes a^, a.^,... a„, la dernière a„ par exemple, comme une fonction des n — 1 autres; en d'autres termes, on posera

Un = tt> (a^, a,, «n-^).

L'intégrale générale de l'équation proposée (38) résultera de l'élimination de cii, a^, ... a„i entre l'équation (59) et les dérivées de cette équation par rapport aux paramètres

fl!j5 '^2' •■ • ^n— 1 •

557. Dans la théorie de l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre et, en particulier, dans la méthode de Jacobi que nous exposerons tout à l'heure, il est souvent avantageux et parfois nécessaire de remplacer le type général

F(2'i, qn, z, Pi, i^) = 0 (60)

par le suivant

? (S'p qn, Pv Pn) = 0 (61)

où ne figure plus explicitement la fonction inconnue z. On y parvient par une transformation très simple mais qui introduit une variable indépendante de plus.

En effet, représentons sous la forme implicite

ï(2'i'?2> qn,z) = (i (62)

l'intégrale z de l'équation différentielle (08)

En différentiant (61) successivementpar rapport à^i, q^, ...^„, on a

ôg, ^ô^^*-^' ôg„^ô^^"-"'

d'où l'on tire •

En portant ces valeurs dans (58) on obtient l'équation

qu'on peut écrire

/ î»Y ôY ûY

Sous cette forme on voit que cette équation (62) qui remplace l'équation différentielle proposée (38), contient les n -h i variables indépendantes q^, ... g„, z, et les dérivées du premier

ordre —■,'•'—-' -f- , mais où y ne figure plus explicitement.

Intégration du système de m équations

aux dérivées partielles du premier ordre d'une

fonction de n variables indépendantes.

(lUétliode de Jaeobi).