Considérons une expression telle que
où ^{x) désigne une expression rationnelle, qu'on sait, par conséquent mettre sous la forme
Les intégrales | x'^e'^dx ont été étudiées dans le n° précédent. Il reste à examiner
doc.
{x — af L'intégration par parties donne d'abord
doc= -. — - — i 4- -. I T dcv
{x — af ^^ 1 — « (^ — ay-~' « ~ 1 / {x — a) ;t celte formule de réduction permettra d'arriver à l'intégrale
Posons
X ^r^ a -\- •- d'où dx == — ; 71 n
on est ramené à
ena I - dy.
Calcul infinitésimal
Enfin si l'on fait on a à considérer
qui est une transcendante nouvelle ; elle prend le nom de logarithme intégral lorsque la constante d'intégration est déterminée de manière que cette transcendante s'annule pour ^ = 0.
66. Si, au lieu d'exponentielles, on a des logarithmes, on ramène ce cas aux précédents en posant
d'où
j; = gy, dx = e^dy
Des intégrales définies dont la valeur s'obtient en appliquant la définition
Q'7. La définition donnée au n° 1 du chapitre précédent permet d'obtenir immédiatement un grand nombre d'intégrales. La valeur étant indépendante de la loi suivant laquelle se succéderont les valeurs de x dans la somme à calculer
on profitera de cette latitude pour fixer une loi qui permette d'effectuer cette sommation.
68. Nous allons donner quelques exemples de cette manière d'opérer.
1° Soit à calculer
on divise l'intervalle de o h œ en 7i parties égales et l'on pose
X = nh, OOij^x J"; = h, 1; = Xi
La somme (1) devient
7, [1 ^ en + e^n ^... ^ ,(.-i).] = /, Çj^. = (g. i) A.
Lorsque h tend vers zéro, la dernière fraction tend vers un, et l'on a
2° Au lieu de prendre des valeurs de x qui se suivent en progression arithmétique, on peut diviser Tintervalle de manière que les termes se succèdent comme ceux d'une progression géométrique. On posera alors
et la formule (1) deviendra
Ainsi, soit à intégrer
l'équation (2) donne
/ r{^)dx = Um a{q - 1) [^ + q. ^ + ... + rf-^ -^-^^,] = lim ti(Q — i) = lim 4 loff -.
DES INTEGRALES DEFINIES
OU enQn
— = log - .
3« Dans les deux exemples précédents, on connaissait Tintégrale indéfinie i f{x) dx. Voici un exemple où elle est inconnue : soit à calculer
log sin X dx.
Nous partagerons l'intervalle de zéro à 9 en n parties égales et nous poserons
de sorte qu'on aura par définition
ou
n I = |limilogU
en posant
n=sin^sin2.^...sin(n-l)|^.
Or on a évidemment
s'n (^ - '^) ^ = sin {n-\-k)^
et
sin h ^ = cos {n — k)
De là résulte, en multipliant | I par la même expression
dans laquelle on a écrit les facteurs en ordre inverse,
Ce dernier produit se calcule sans peine, il suffit de former l'équation qui donne sin - connaissant sin u = 0 : le produit
des racines de cette équation, après suppression de la racine nulle, sera le produit cherché. On trouve ainsi
d'où l'on déduit
I = r: hm - lor
^ log n — (n — 1) log 2
I = p lim
ou enfin
'2 log sin X dx = — p log 2 (3)
DES INTÉGRALES DEFINIES 87
4° Voici un dernier exemple. L'intégrale
log (1 — 2a cos X 4- a"2) dx a été calcule'e par Poisson. On a par définition
1= Um 2 ~riog(l — 2a-t-a2) + log(l— 2acos|-V-a2-|-...
=: lim - log
en posant
TT = (t — 2a -H a2) (1 — 2a COS - -h a^) ... (1 — 2a cos h a^)... (1 — 2a cos tc -h a^).
Or on démontre aisément que ce produit est égal à
on a donc
TT, (a2'^l)(a— 1) ,, w ° a + 1
Si I a I ■< 1, nous écrirons
I = lim - log -r-^- -h loo^ (1 — «2»)
et l'on a évidemment
Si au contraire le module de a est supérieur à l'unité, nou& devons écrire
I = lim - [log "^^ -+- log (a2- - 1)1
= lùn ^^ log (a2« - 1) = lim ^^ log a^" (^1 - -,-)
et l'on voit que
I == 71 log a^ (4)
69. La méthode employée dans le n° précédent ne peut évidemment plus être appliquée sans corrections dans le cas où une des limites de l'intégrale devient infinie, puisque l'on n'a plus un intervalle fixe à diviser en parties dont le nombre augmente ensuite au-delà de toute limite. Il faudra examiner d'abord l'intégrale
et faire ensuite croître 6 à l'infini. L'intégrale précédente devra tendre vers une limite, ou encore l'intégrale
devra tendre vers zéro lorsque 6 et c croîtront indéfiniment. Nous examinerons en premier lieu une intégrale célèbre
e-^ dûff.
Elle sera la limite de
o ' Ctt/^j
DES INTEGRALES DEFINIES 89
pour & r=r oo , si I e-''"dx tend vers zéro pour è et c infinis. Par définition la première intégrale s'écrit
lim V 7î(l H- e-''' 4- e-"'"' -+-e-"'''^ -f-...-l- e-"^''') (5) ■ h = 0 '^^
avec nh = b, et la deuxième
lim 2 h [e-'^'' +e'(.' + '^f -+-... h^ 0
Or, dans celte dernière somme, on a d'où l'on de'duit
e-^^dx < e-î-' lim 2 ^^ [* + ^~"' "^ ^~"'' +"-]'
la somme dans le crochet étant prolongée à l'infini ce qui ne peut que l'augmenter. Cette somme, que nous appellerons S, est finie^ comme on va le voir : elle peut s'écrire
S = . ^' ., v/n^ nq),
Vl — e-'*' en posant
g/.2^^ et /■(^) = 1 4- g H- ç* -H...+ î"^ 4-...
Désignons par [//ï] le plus grand entier contenu dans \/n, et comparons les deux séries, divergentes pour g > 1, ,
90 CHAPITP.E 1[
et
Dans cette dernière série^ le coefficient de g" peut s'écrire, en vertu de la formule de Wallis (n° 79),
£ et e' tendant vers zéro pour n = 00, Le rapport des coefficients de ^" dans '\i[q) et dans F{q)
a donc pour limite ^ y/^, et, par suite, d'après un théorème
connu Ç^), le rapport des deux séries a la même limite. On a donc, en faisant tendre ç' vers un
(*) Lorsque deux séries ordonnées suivant les jouissances ascendantes d'une même lettre sont divergentes et que le rapport des coefficients d'une même puissance de la lettre ordonnatrice a une limite, le rapport de la somme des n premiers termes a la même limite lorsque n croît à l'infini. En effet dans une suite de rapports égaux ou inégaux
le rapport
est compris entre le plus grand et le plus petit de ces rapports. Si donc
DES INTEGRALES DEFINIES 91
Il en résulte,
si l'on fait croître h à Finfmi, le second membre tend vers zéro, donc aussi le premier^ et l'on est fondé, dans la somme (3) qui sert de définition à I, à faire croître h à l'infini, c'est-à-dire que
I ^ lim 2 ^^(^1 + '^"''^ + ^~"'^ ■^"•••)h = o
n est assez grand pour que le rapport des termes de même rang des deux séries divergentes,
/■(n) = a» + «■i^ +•■•+ «^'i^" +••• cp(n) = b, + h^x +...+ 'bnX'^ +•-,
diffère, pour cette valeur de n et pour les valeurs supérieures, de sa limite l d'un nombre inférieur à e, on pourra écrire
, ^ anX^ + an + iJ?" + t + ••• + an^pX^'-T ^
Soit t f{x) la somme des n-\-p premiers termes de f{x) et tp^f^) celle des n -j- p premiers termes de <^{x), le rapport intermédiaire pourra s'écrire
f j,{x) — {a„ + <^\X +■■■+ Qre-i^""^)
fp'X) 1 ^— I— 1 T^ T^ " 1
(cp^,^)i i^L±.*i^+-+^^ii^
Comme la deuxième de ces fractions tend vers un pour p = oo , on voit que '—: sera compris entre / — e et / + e, ce qui démontre le théorème.
Le second membre est pre'cisément S ; on a donc enfin
e — ^ dx = ;^ ^iz. (6)
'70. On intègre, par un raisonnement analogue,
sin a? , ,. / . 7 sin 2h sin n7i\
rfa:; = hm sin A + — =; \-... '
Nous démontrerons plus loin (série de Fourier) l'identité, valable tant que h est compris entre 0 et 2-7z,
. j sin 2/i sin 7îh 1 . ,s
sin h -i H... H- H... = K('n: — h).
Il en résulte immédiatement
sin X , 71 ,,
— ^ dx = ^, (7)
11 est à remarquer que le produit de la fonction à intégrer ^ifL:^ par x ne tend pas vers zéro pour x infini, et cependant
l'intégrale a une limite : cela tient à ce que la fonction change de signe un nombre infini de fois.
"71. L'intégrale
1=1 — 5— dx.
se ramène à la précédente en intégrant par parties
