Conditioj^^s d'intégrabilité. Soient

F{qi, q^, ... qn, Pi, Pi^ '•• Pn)

*(9'l. ^2 ••• qn,Pu Pa. ••• Pr>)

deux fonctions quelconques des quantités g^ g'^, ...qn>Pi,Pi, ... Pn' Oïl nomme crocheta de ces deux fonctions l'expression

Oi — i

dF

et, l'on désigne habituellement cette somme de déterminants par [F, *].

Par exemple, si l'on a

F = î; 4- q\ + PI + P\ et * = ap, q, -h bp^ q,,

on a

2?i, «Pi Kl Sg^, ^^2

= 2a(^l-p^-^2b(ql-p^

Il importe de remarquer que si l'une des fonctions, * par exemple, se réduisait à une constante, le crochet serait nul. Ainsi, l'on a

[F, const] = 0 et [F, O] = 0. ,

560. Ces définitions étant établies, voici un théorème important :

Pour qu^un système de n équations distinctes

Fi=0, F2 = 0, ...F„ = 0

soit tel que les valeurs de p^^p.^, ... p„ qu'on en déduit rende Vexpression

Pi dqy H- 232 ^^^2 + ••• -^Pndqn

une différentielle exacte, il faut et il suffit que les crochets de toutes les combinaisons deux à deux des fonctions F^, F^, ... Fn soient nuls, soit identiquement, soit en vertu des équations (65).

En effet, soient F et * deux quelconques des fonctions F^, F^, ... F„, et, pour abréger les écritures, supposons 7i = 3.

En différentiant les équations •

F(2'i. S'a, q^, Pi, P2> Pz,) = ^ "^ i^i, 92, 93^ Pi, P^, Pz^) = ^

par rapport à ^j, on a

ôF ôF ôjo, ôF ôp.2 ôF f)p3 àq[~^ hpl^ql ô^ ô^i "^ ôp~3 ô^i ~

iq^ "^ ôpi ô^ "^ 0^2 ^i ~*~ ^3 ^1 ~

d'où, en multipliant la première par— et la seconde par^r- ,

et retranchant,

ôF ù4> ùq'yàp^~

ôF ô* /ôF ô* ôF ô* \ 0P2

^Pi ^9'i ~ \ÛP2 ^Pl ^ ^Pi ^PJ ^<li fhY ô* ôF ô«î> \ ÔP3

En opérant par rapport à q^, puis par rapport à q^ comme nous venons de le faire pour q^, on aurait

ôF i»* ôF ô* /ôF ô* ôF b* \ ôpi

ô^ Sp^ ~~ ôp^ Hç^â ~" U^i ôpg ''J^a '^i^i/ M% /ôF 5* ôF ô*\ ôpj

ôF ô* ôF ô* / ôF ô* ôF ô£ \ ô£j

/ôF ô4

ÔP3

ôPl/

'ôF

fip^

ÔP3

L'addition des trois équations précédentes donne

ôF ô*

ôF b*

ôF ô*

ôF ô*

ôF ô<i>

c'est-à-dire

ôF

ôF ¥2

ôF

Sous cette forme du crochet, le théorème est évident.

D'abord, la condition est nécessaire; en efîet, sip,, p^yp^ ont des valeurs telles que p^ dq^ h- /Jj <^2'2 "^ Ps '^^z ^^^^ ^^^ différentielle exacte, tous les éléments de la première horizontale sont nuls ; donc le crochet est nul.

En second lieu, la condition est suffisante. En effet, si le déterminant précédent et ses deux analogues, sont nuls, on aura trois équations du premier degré et homogènes entre les trois éléments de la première ligne horizontale ; le déterminant

sera le déterminant formé avec les coefficients de ces trois éléments dans les trois équations; il est d'ailleurs différent

bF,

bF,

bFi

ôp,

bp,

bF,

bF,

bpj

bpi

bp3

de zéro, sans quoi d'après un théorème connu des déterminants fonctionnels, les fonctions Fj, F^, F^ ne seraient pas distinctes ; donc il faut que les trois éléments considérés qui jouent les rôles des inconnues dans les trois équations homogènes soient nais.

501. 11 importe de voir à quoi se réduit le développement du crochet [F^ *] quand F et <i> ont quelques compositions spéciales

fo Supposons qu'on ait

F = F (Çi, q^, ... qn^2^s-\ i,Ps + 2^ ■-•Pn) 'P=Pi—f (Çi, q^, ... qn,Ps-{ i,Ps + 2^ ■-■ pn)

i étant inférieur ou égale à s. On voit alors^ sur l'expression générale (63) du crochet, que tous les déterminants relatifs à

sont nuls ; car, pour toutes ces valeurs de a, la deuxième horizontale a ses éléments nuls ; de plus, pour a = i le déterminant se réduit à

ôF ôcf

'^qC M.

ou a

Mi

On a donc, pour la valeur réduite du crochet,

ôF ôcû

ôF

Mi

ôF ôcp

^Va ^Po.

2° Soient i et k deux nombres tels que l'on ait i <Ck, k <is et considérons les formes particulières

F =pi, — f(q^, q^, ... g„, Ps + i,2h+i> '"Pn) ^ = Pi — »(^i, q.2, ... qn, Ps^i^ Ps^ i, .--Pn)'

ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DU PRExMlER ORDRE 697

Oq aura dans ce cas

5^2^. Propriété des crochets et Théorème de Poisson.

Si f, o, <]) sont des fondions des 2n variables q^, q.,, ... §-„, Pi, p. 2, ■■' Pn considérées comme indépendantes, on a identiquement

[/", [?, -W] + [?, \:\, n] + [h [A tJ] = 0

En effet, si on développe l'expression (70), on aperçoit immédiatement que chacun de ses termes est le produit de trois facteurs, qui sont une dérivée du second ordre de l'une des fonctions et une dérivée du premier ordre de chacune des deux autres fonctions.

Considérons, par exemple, les termes qui contiennent une dérivée du second ordre de /"; tout revient à démontrer que ces termes s'entredétruisent. Or, d'une part ces termes ont l'une des trois formes

a pouvant être égale à P; d'autre part, les termes de cette espèce proviennent tous de

[cp, [.j., n] et de [.^, [f, ?]]

et l'on reconnaît avec un peu d'attention que, à chaque terme de cette espèce provenant de la première de ces deux expressions, répond un terme égal et de signe contraire provenant de la seconde.

563. De ce lemme résulte un théorème fondamental du à Poisson :

Soient v^ et 4^ deux fonctions de q^, q^, ... qn, px, p^, ...pnteiles quon ait [cp, i];] = 0 ; soit, en outre, F équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre

où, f désigne la fonction inconnue. Si f^ est une solution de V équation (71), l'expression [^, /i] sera une nouvelle solution de cette équation (71) ; à condition toutefois que cette expression [^, /i] ne se réduise ni à zéro, ni à une constante ni à une fonction de /j, car alors on n'aurait pas une solution nouvelle de (71).

En effet, d'après le lemme précédent (n° 363), on a l'identité

[/;. [?, ^^\ + [y> w. fA + [4-, [/;, ?]] = o]

qui dans notre double hypothèse [cp, <];] = 0, [tf , /,] = 0, se réduit à

laquelle exprime précisément que, dans le cas où [']>,/i] n'est ni identiquement nulle ni constante, elle est une solulion de (71)(*).

(*) Nous avons suivi la marche classique pour la démonstration du théorème de Poisson. On pourrait y parvenir autrement à l'aide d'un théorème élégant dû à M. Buhl, théorème d'ailleurs équivalent à celui de Poisson, comme l'a montré M. Appel [comptes rendus, 1901). Voici l'énoncé du théorème de Buhl.

Etant donné un système d'équations simidtanées

dx^ dx.) dx,.

si <i> est une intégrale de ce système, il existe des fonctions 7^^, X2> ••• "^^r telles que l'expression

en soit une autre. Ces fonctions >>, des variables Xi sont données par les r équations aux dérivées partielles