Problème auxiliaire

Etant données s fonctions [s <. n) de la forme

Pi — ?1 (S'i' 5'2> ••• qn,Ps^i, Ps + i, ... Pn) l P2 — ?2(^1' ^2' ••• 1n,Ps + i,Vs+i, ... Pn) (

Ps— ?s(9'l. ^2' ••• <în, Ps + i, Ps + ., ..-Pn)

et telles que leurs crochets deux à deux soient nuls, trouver une fonction F [q^, q^, ... §'„, p^ + 1, i^^ + 2, ••• pn) dont les crochets avec chacune des précédentes soient nuls.

On a, pour déterminer F, les équations linéaires et du premier ordre aux dérivées partielles (n° 561, 1°)

c>F Mi

ôF

ôcpj

ôF

^Pa

ôF

ÔCSg

ôF

^Pa

^Poi

ÔCS5

Moi

ôF

^Pa

La fonction cherchée F est donc une solution commune aux s équations précédentes, et il s'agit de trouver une solution commune si particulière qu'elle soit, en profitant de la forme spéciale de ces équations.

A cet effet, on cherchera une solution particulière de l'une des équations précédentes, par exemple de la première (F); soit 73j cette solution ; en substituant ^i à F dans une autre de& équations précédentes, la seconde (2') par exemple, le résultat de cette substitution sera

QL = n

:oo

et, s'il n'est ni constantj ni nul, ni une fonction de ^i ce sera une nouvelle solution de (!'). En opérant sur ^^ comme on l'a fait sur nr^ ce qui revient à remplacer dans l'égalité précédente w^ par TTTj, on trouvera une nouvelle solution tuj de (1'), et on continuera de la sorte Jusqu'à ce qu'on trouve un résultat rn^ qui soit ou nuloM constant ou fonction des résultats précédents Toi, ra^, ... TO|j.-i et des quantités q^^ q^, ... ^^qui sont considérées comme des constantes dans l'équation intégrée (1'); l'une de ces trois circonstances ne saurait manquer de se présenter, car à défaut des deux premières la troisième arrivera forcément après un nombre limité d'opérations, puisque le nombre des solutions particulières de l'équation (!') est limité.

Examinons ces trois cas en commençant par le dernier qui comprend les deux autres.

1° SironaTOj^=:/(TOi, ttt^, ... ^j^..^ ^„ ^3, ... ^,), c'est qu'alors

une fonction cjuelconque

X(toj, ro„ ... nT,j i, q^, q^, ... q^)

des mêmes quantités est une solution de l'équation (!'), et on cherchera à déterminer la forme de cette fonction ^ de façon à ce qu'elle soit aussi une solution de (2'), c'est-à-dire de telle sorte qu'on ait

ôX

ftcp,

ôX

ÙC&2

Cette équation développée donne

îiX ùX ÔT7J i)X ÔTO^

^q^ ôTOi ^q^ 0^2 ^^îi a. = n

2 0^2 / ôX ÙTO,

ôX ^^1^.-1

ôX

ÔCJ

^Pa

ôX

ônj.

5tct.

ô^Ix-1

ôp«

^Pa

OU enfin à cause de la formule (71) et de ses analogues

ôX

ùra

Cette équation est linéaire aux dérivées partielles du premier ordre; X est la fonction inconnue; q^, ^i, ^2, ... ^[j.i sont les variables et nr^j, est une fonction connue de ces variables.

On déterminera une intégrale particulière de cette équation c'est-à-dire une intégrale du système correspondant