TO, TT7, *" HT

d'équations difïérentielles ordinaires simultanées, soit

cette solution sera une solution commune aux équations (1')

2^ si l'on a TOjj. = constante, = Cj, on pourrait opérer

comme ci-dessus, mais on voit immédiatement que l'expression ^-j. - 1 — Cig.i 6st une solution commune à (1') et èi (2').

Enfin, 3" si Ton a TOjj. = 0, on est dans un cas particulier du précédent, celui où c est nul ; donc ^^j.— i est alors une solution commune à (!') et à (2').

Nous possédons actuellement une solution commune à (1') et à (2') ; désignons là par 6^, il s'agit d'en déduire une solution commune à (T), (2') et (3'). A cet effet, nous substituerons 0^ à la place de F dans l'équation (3'), et le résultat ô^ de la substitution, s'il n'est nul constant ou fonction de 0, sera une nouvelle solution commune à (!') et à (2'). En substituant de nouveau ce résultat dans (3') et ainsi de suite, on déterminera une série de fonctions 6^, e^, ... ôp qui seront des solutions communes à (1') et (2'), la dernière fonction Sp étant nulle, constante, ou fonction de 6^, e.^, ... Gp.j et des quantités q^, q^, ...q, qui sont considérées comme constantes dans les équations intégrées (!') et (2'). Si 0p est nul, 6p, sera une solution commune à (1') (2') et (3'). Si 6p est égal à une constante c^, on aura une solution commune à (l') (2') (3'). Enfin si Qp est une fonction de ôj, 6^, ... ep jetdeg3, q^, ... q„ on se proproserade satisfaire à l'équation (3') par une fonction

Ç(6i, 62, ... ep i, q^, q^, ... q,)

et l'on verra qu'il suffit pour cela de prendre ime intégrale de l'équation linéaire

0= ----+- e^-^ -+- ... + ep

ou du système simultané correspondant

clq^ clQ^ ô9o,

Ayant une solution commune de (!') (2') (3'), on opérera de la môme manière pour en déduire une solution commune à ({'), (2'), (3'), (4'); et ainsi de suite. En continuant de la sorte, on obtiendra finalement une fonction

F(qi, qo, -.. Çn, Ps + i, Ps + -2, ". Pn)

qui sera une solution commune à (!'), (2'), ... [s'), c'est-à-dire qui résoudra le problème proposé.