Voici un exemple : soit le système

^'-Tr ^'~lh' ^'~~ç7'

Ici on a ?i =: 4 et s = 3 ; il est d'ailleurs aisé de constater, à l'aide de la formule (68) du n° 561, que les crochets de ces fonctions deux à deux sont nuls.

Les équations (T), {'1'), (3') sont

ùF 'i>q,

\^9i ^Jh ^Pi ^lJ

avec

ïl

avec

yi9'3 ^4

ôF ffec

/&F ô©3 &F ôcpgX „

tuant,

, ôF , t)F

„ ôF - ôF

avec =.0

Pi 9'4 ^3

ôF î>F

Prenons une intégrale de (76) c'est-à-dire une intégrale du système

dq.^ cfg^ c?p, clF ^

soit ^1 r^-?^-^ cette intéojrale.

En substituant dans (74) et dans (75), on trouve 0 = 0.

Donc^ est une intégrale commune à (74), (75), et (76).

Nous venons d'opérer de la manière la plus simple. On pourrait, pour avoir une application plus complète des principes qui précèdent, procéder comme il suit:

L'équation (74) répond au système différentiel

on déduit de là d'où

dq^ dq^^ d¥

— ~ 1i — 5'4 =^ const, F = const

F = fonction de q, - îiî^±^ .

On a donc une intégrale de (74) en prenant

En portant dans l'équation (73) on trouve

qui n'est pas une solution nouvelle.

Une fonction quelconque >^ de q^, q^, in^ sera encore une solution de (74); déterminons cette fonction X, à l'aide de l'équation (73), qui se réduit ici a

^ ôX bX

hq, 'ôg-/

le système correspondant est

dq^ dq^ d\

qui donne la solution l = w^,q^; on constate aisément que cette solution qui est déjà commune à (74) et à (75) satisfait à (76). Donc enfin

9, 5'4 — ^ ^3 est une intégrale commune aux trois équations proposées.

Problème définitif

566. Nous sommes actuellement en mesure de résoudre le problème posé au h" 558 et qui est le but final de cette étude.

On commencera par résoudre les équations données (62) par rapport k p^, p^, ... p,n c'est-à-dire par mettre le système proposé sous la forme

Pi — '^l (5'n 9-2^ •'■ Çn, Pm 4-1, Pm + 2^ • . . Pn) — 0 Pi — ^i (Q"!' 5'2. ••• qn, Pm + 1, Pm 1- 2» '•• P») = 0

Pm — 4'm(gi. ^2, •.. qn, Pm + i, Pm + 2> ..- Pn) = 0

D'après ce qui a été dit au n° 560, pour que le système (76) soit intégrable, c'est-à-dire pour que les équations (76) aient une solution commune, il faut et il suffit qu'on puisse leur adjoindre n — m relations entre q^, q^, ... g„, p,„+i,^,„ + 2, ... p^ telles que les crochets deux à deux des premiers membres de ces n relations soient nuls, soit identiquement^ soit en vertu de ces n équations elles mêmes.

Donc en particulier les crochets des premiers membres des équations (76) pris 2 à 2 doivent être nuls soit identiquement, soit en vertu des n — m relations cherchées ; car, ces crochets ne contenant aucune des quantités p^, p^, ... p,„, il n'y aura pas à faire intervenir les m équations proposées (76) pour voir s'ils s'annulent ; ils doivent s'annuler soit identiquement, soit en vertu des n — m relations nouvelles.

Si les crochets relatifs aux équations (76) s'annulent identiquement, le système (76) sera tout "préparé pour les calculs ultérieurs et nous expliquerons tout à l'heure ce qu'on en fera (n« 567).

Si tous les crochets relatifs aux équations (76) ne sont pas 1^ nulsidentiquement, ces crochets effectués donnent des expressions composées avec

9'l > 2'2 ' • • • 5'"' P»! + l ' P'" + 2 » • • • Pn

Calcul infinitésimal 45

Alors, si dans l'un de ces crochets les quantités f» n'entrentpas, c'est-à-dire s'il n'y figure que les variables q^ le problème proposé sera impossible ; car l'annulation de ce crochet entraînerait une relation entre les variables q^, q^, ... qn qui dès lors ne seraient pas indépendantes comme on l'a supposé.

Mais si l'un de ces crochets contient une ou plusieurs de& quantités p, on aura^ en égalant cette expression à zéro, une équation -

qui doit être vérifiée en vertu des n — m relations cherchées. On pourra donc prendre cette relation comme Tune des relations cherchées que l'on adjoindra au système (76) après l'avoir résolue par rapport à l'une des quantités p^-i^^, pm^-^, •-• Pn, par exemple par rapport à p,„ 4. j dont on portera la valeur dans les équations (76).

On aura alors, au lieu du système donné (76), un nouveau système

Pi — 4^1 (9'l' 92' ••• Qn, Pm+2'Pm + ^, ■•• Pn) = 0 Pz — 4*2 (^1' 9'2. ;•• 9n, Pm+^, Pm + S' '•• Pn) = 0

Pm — 'Kl (^U ^2' ■•• 9n' Pm+2' Pm + -3, -• Pn) = 0 Pm+i — '^m+i (qi, q-i, '" qn,Pm + 2' Pm + z, ••• Pn) = 0

sur lequel on recommencera à opérer comme on vient de la faire sur le système (76).

Ainsi, on formera tous les crochets deux à deux du système (77) ; leur expression aura l'une des trois formes

^ illf 9-21 •■• Qn, pm + /i + 1 ' Pm + /i + 2» • • • Pn) •

S'ils sont tous de la première forme, c'est-à-dire égaux à zéro, le système sera préparé. Si l'un deux est de la seconde forme, il y a impossibilité. Enfin, si un crochet est de la troisième forme, on l'égalera à zéro et l'on aura ainsi une

équation nouvelle qu'on adjoindra aux précédentes (77) après l'avoir résolue par rapport àp,„^ ^ et avoir substitué sa valeur dans (77) ; on obtiendra de la sorte un nouveau système

Pi — ^i (Q-I' 9'2» ••• qn,Pm^-^^ ... Pn) =0 \

On opérera sur ce système comme sur les précédents et l'on continuera de la sorte (à moins qu'on ne tombe sur un crochet qui soit fonction seulement des quantités q, ce qui dénoterait une impossibilité) jusqu'à ce qu'on trouve un système de n équations. Alors, si les crochets des n équations sont tous nuls, le système sera préparé. Mais, si les crochets ne sont pas tous nuls, il y aura encore impossibilité; car, en combinant avec les n équations l'un de leurs crochets non nul et éliminant p^, p^, ... jo„ on arriverait à une relation entre les quantités q^^, q^, ... q,i seules, qui par suite ne seraient pas indépendantes.

Donc, en dernière analyse, si le problème est possible, on parviendra à un système tel que le système (A) du n° 364.

56T. — Cela posé si s = n, le problème sera résolu ; on portera les valeurs dep^, p.^, ... p,j dans l'expression

dz = p^ dq^ -^ P^dq^ + ... -h pndqn

qui sera une différentielle exacle et dont l'intégration donnera z avec une constante arbitraire ajoutée à z. - Si s est ■< n, (il ne saurait être plus grand, par hypothèse) on appliquera au système (A) la solution du problème auxiliaire (n° S64), ce qui fournira une fonction

F (gi, q^, ... qn,Ps + i, -.Pn)

dont le crochet avec chacune de celles du système (A) sera nul. On adjoindra donc aux équations du système (A) l'équation nouvelle

F {q^, q,, ... qn,Ps + i, ■■• Pn) — aj = 0

OÙ aj désigne une constante arbitraire ; après l'avoir résolue par rapport à Ps+i^ ^n portera la valeur de ps^^ dans les équations (A), et l'on aura un système nouveau

Pi — ^1 (5'l. 5'2. ••• <ïn,Ps+2> '■' Pn) =0 \

Pi — ^^2(11^ 92^ •■• Qn,ps + 2^ '■■Pn)=0 (

Ps+i—^h+i {Çi, Ci' ••• 9n, Ps + 2' '" Pn) = 0 )

sur lequel on recommencera tout, c'est-à-dire sur lequel on opérera comme sur le système (76).

En continuant ainsi, on arrivera finalement à un système de n équations, d'où l'on tirera les valeurs de^^, p^, ... p„ avec des constantes arbitraires, et qui seront telles qu'en les portant dans

dz = 2^1 dq^ -h p^ dq^ 4- ... -h p„ dqn

on ait une différentielle exacte. En l'intégrant on aura l'inconnue z à laquelle on ajoutera une constante arbitraire.