Exemple

Soit le système

PlP3 — 929i = ^

on le met sous la forme

^' Pz ' Pi

dont le crochet [n° (561)] est

0 = ^ i ^ -i- ( ^ ^"f — If- îi] -^ ( tC ^

ôgi hq^ \t>q^ hp^ 0^3 0^3/ \hq^ ôp^

avec

^ Pi Pi

ce crochet est donc

0 = - £-3 £. ^ / îi ^=Jd[± 0 ) + ( 0 - =4^â îi ) Pi Vz \Pi PÎ / \ Pi PJ

^i 9'3 Siillt ^ <Ii 9'-2 ^3

Ps Pi PiPt PzPl

0 = P3 p| 5'4 — p| p, ^3 — gi ^2 5'4P4 -+- S'i 9'2 2'3i'3 ^^4 ^3^3 — {Pl 9'4 -^ <îi ?2 93) P3 + <îl <ii 5'4P4 = 0

__ Pl g'> + gi g2 ^3 ± v/(p^ g^ + g^, q^ q^y — kq,q^ g, g, pl

^Pl^i-+- gl g2 ^3 =^ iPÎ Çj — 9l ^2 Qz) . ^P4 2'3

de là les deux valeurs

^' '^v^qz Pi

On a donc les deux systèmes,

Pi - — - U, p, ^^ - U, ^3 ^^

Prenons le premier système. 11 est aisé de constater que les crochets de ses équations deux à deux sont nuls ; le système est donc préparé et il faut lui appliquer le problème auxiliaire (n° 364) c'est précisément l'exemple du n° 565 ; on trouve pour intégrale commune aux trois équations

Pi Pi

En égalant celte fonction à une constante arbitraire a, on obtient la relation

Pi = o-Vz

qui, combinée avec les trois équations du premier système, donne

P4 = «S'a. Vi = «2'4 ^2 ^ a ' -^i ^ a '

on a, par suite,

c^^ = - (^2 ^9i H- Si (^92) + « (9'4 ^2'3 + S'^ ^S'J'

d'où en intégrant

^ + b = ~^ -i-aq,q,

h désignant une constante arbitraire.

Prenons maintenant le second système. On constate aussi que les crochets deux à deux sont nuls ; le système est donc préparé pour l'application du problème auxiliaire (ii<* 564), et l'on trouve, pour intégrale commune aux trois équations,

on en déduit

P, = aq,,

et par suite

On a donc

dz = a {q^dq^ + g, dq^ + - {q^dq^ -t- q^dq^),

d'où en intégrant

« et 6 désignant deux constantes arbitraires.

Revenons au premier système. Nous avons trouvé aun" 565 qu'il admet une intégrale commune

En égalant cette expression à une constante c et combinant l'équation ainsi obtenue avec les trois équations du premier système, on obtient les valeurs

p^ — q^m, pi = q3

ou on a pose

Vq,'

V^5'2 9i — c De là résultent successivement

z-\-k = 1^q^q^ \lq^

k étant une constante arbitraire. On voit que cette intégrale complète du premier système est moins simple que celle déjà obtenue au n» 565.

569. La méthode de Jacobi que nous venons d'exposer pour le cas de m équations simultanées s'applique sans difficulté au cas, beaucoup plus fréquent dans la pratique, où il s'agit d'une seule équation.

Nous laisserons au lecteur le soin de reconstituer le raisonnement relatif à ce cas ; mais nous croyons utile de traiter, à l'appui de la méthode, une série d'exemples qui seront plus instructifs que de longs préceptes.

Exemples relatifs au cas d'une seule équation

5'S'O. Soit l'équation

On en déduit, en résolvant par rapport à p,,

Puis, on cherchera une intégrale du système simultané dgi __ dq^ __ dp^

pl P2

Or, en considérant les deux derniers rapports, on a

dq^dp^

et par suite, en intégrant,

Cette relation permet de mettre p^ sous la forme

et l'on a, parsuite^

dz = ^ dq^ 4- «2 q^ dq^

d'où résulte

z -^ a^z='h: ^ a^ql

qui est une intégrale complète de l'équation diflérentielle pro posée.

5*71. Soit l'équation

On aura d'abord

puis le système simultané

dq dq^ dp^

T - ~ 2£, - "ÔT

donnera

I" ce qui permettra de mettre p^ sous la forme

Pi - ~^—

On aura donc

2ay -{- al

dq,^ + «2 <^2'2

et enfin

SIS. Soit l'équalion On aura d'abord

Puis, le système simultané

i^l^a PaPl P2?)3 PaJJj

donne, par la considération du deuxième et du quatrième rapports,

d'où

^ «2 Pa

Cela posé, on considérera l'autre système simultané

dq^ __ dq^__ dp^

, dont les deux derniers rapports donnent

on aura donc, en substituant cette valeur de pg dans l'expression précédente de jjj,

et, par suite,

d:s = -^ dq^ 4- a^ q^ dq,^ -\- a^ q^ dq^.

On obtient ainsi^ pour la solution complète de l'équation proposée

2z -^a, = -^ + a^ ql -H a^ ql