L'équation

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est célèbre dans l'histoire des Mathématiques ; on la rencontre à propos des cordes vibrantes, des tuyaux sonores et dans la Théorie de la Chaleur. « C'est Dalembert qui, le premier, a « considéré cette équation et en a donné l'intégrale complète « avec deux fondions arbitraires ; il a fait voir de plus corn-

c< ment les fonctions arbitraires se déterminent au moyen des « conditions relatives aux points extrêmes de la corde ainsi « qu'à l'état initial, et comment une discussion détaillée des « formules conduit ensuite à reconnaître le caractère pério- « dique et toutes les circonstances du phénomène physique (( auquel l'équation répond. Par cette application capitale, « Dalembert a montré toute l'étendue et toute l'importance « du Calcul aux dérivées partielles alors à sa naissance et à « peine connu et défini « (*).

Dalembert écrit d'abord l'équation (l) sous la forme

~W ^ '~bx '

qui exprime la condition pour que l'expression

-r- dx ■+ a^ — d^,

soit la différentielle exacte d'une fonction de x et de y. Posant alors

-Ç^ dx + a^ ^ c?6 = du, et remarquant que l'on a déjà

~f- d^ -{- —- dx =^ dz, ôô bx '

le célèbre géomètre obtient

(sf "^ ^ si) ^ (^ -t- «6) = t^ (^ -+- «2)>

d'où il conclut que

bz hz

^-^ -h a — et M -t- az,

Ô0 bX

(') LîouviLLE, note VII de la 5« édition de l'Ouvrage de Monge intitulé : Application de l'Analyse à la Géométrie.

sont des fonctions de x -+- aO.

Comme on a pareillement

. ' [â ~^^d) ^' ^^'' — aQ) = d {u — az),

on voit que " • '

-p: — a — et u — az.

sont des fonctions de a? — «9.

On a donc à la fois

u -^ az = ^^ (.V -h «6), Il — az = <\i^ [ce — «6),

et, par suite, en retranchant et divisant par 2 a,

^ = cp (a; -h aO) + <|/ (a? — «6). ' (2)

5^6. Il reste à déterminer les deux fonctions arbitraires cf et '\i.

A cet effet, commençons par indiquer la signification de chacune des lettres qui entrent dans l'équation (1).

A et B étant les extrémités de la corde vibrante, désignons par AX, AY, AZ, trois axes de coordonnées rectangulaires ayant le point A pour origine ; AX est d'ailleurs dirigé suivant AB.

La corde vibrante est supposée se déplacer dans le plan ZAX, et z désigne l'ordonnée, à l'instant ô, du point M de la courbe dont l'abscisse est x.

-Cela posé, la fonction cherchée z doit non seulement satisfaire à l'équation (2), mais encore remplir des conditions de deux sortes : 1° les conditions initiales^ qui expriment que l'on connaît, à l'origine du temps (6 = 0), pour chaque valeur

hz de X, les valeurs de ^r et de —, c'est-à-dire la position initiale

de la corde et les vitesses initiales de ses divers points. — 2<'les conditions aux limites qui expriment que z est nul, quel que soit 6, aux points A et B.