Considérons d'abord les conditions initiales. Soit

z = f{oc), ^ = /;(«?), (3)

pour 6 = 0. En introduisant ces conditions dans l'équation (2) et dans la dérivée

~ = acp' {x -+ aô) — «y ('^ — «®)

par rapport à 6, on obtient

Mais, en intégrant celte dernière par rapport à ^ et posant

\ f,{œ)dx = F{œ), (6)

on a

Dès lors, on déduit de (4) et de (7)

cp (a.) = I [r^'v) -h F (a.) H- C] (8)

Par suite, en remplaçant x par ,2? -i- «G dans (8) et par x -\- a^ dans {S'), puis faisant la somme, on aura, d'après (2),

^ = * [/-(a; -H aG) 4- /• (a; — «9) -h F (a? -h aO) — F (a; — «6)], où la constante C n'entre plus.

Il importe d'observer que les fonctions cp (.2) et <]> [x) déterminées par les relations (8) et (8') ne sont connues, comme d'ailleurs f{x) et F {œ), que pour des valeurs de x comprises entre 0 et /. Pour déterminer cp {x) et ^ (x) au delà de cet intervalle, nous allons faire intervenir les conditions au limites.

5^8. Au point A, z doit être nul quelque soit 6 ; on doit donc avoir à tout instant

? («6) -+- 4/ (— a8) = 0 c'est-à-dire

cp (w) -h 4; (— m) = 0 (9)

en posant «6 = u-

Au point B, on doit avoir à tout instant

D'ailleurs cp(?/) et <1^ (m) sont connues (n° 377) pour toutes les valeurs de u appartenant à l'intervalle (0, /).

Mais / — w se trouve comprise aussi entre 0 et / ; donc 4; (/ — u) est connue dans l'intervalle (0, /) ; et, comme on a, d'après (10),

tf (? -h w) = — <î^ (Z — it),

l'expression o{l -{- u) est connue pour les mêmes valeurs de u. Donc, si l'on pose l -^ u = v, ^ {v) sera connue pour les valeurs de v appartenant à l'intervalle (/, 2 /) ; mais, cette fonction cp [v]^ étant déjà connue dans l'intervalle (0, /), le sera entre 0 et 2 /.

Gela posé, en remplaçant dans (10) u par / + u^ on a

cp (2 Z -H w) + <> (— w) = 0,

et comme ? [u) h- «^ (— w) = 0, on aura,

cp (2 ^ H- w) = <P (w), Calcul infinitésimal ^6

On conclut de là que la fonction co {u) est périodique et que sa période est 2 /. Cette fonction sera donc connue pour toutes les valeurs, positives ou négatives de x, puisqu'elle l'est dans l'intervalle (o, 2 /).

Considérons maintenant la fonction ^. On a

et, par suite,

Mais

âonc

i^{—u) = — ^ {il),

cp (2 ^ -H u) = cf (w) = — il [u) ;