^) = .^ ( 2 ^ ic

Dès lors si l'on pose

on aura

^(21-^ w) = ^ {lo).

,. La fonction 4^ est donc périodique et sa période est 2 /.

La discussion précédente montre que, lorsque «0 augmente d'une quantité égale à 2/ c'est-à-dire lorsque G croit d'une

quantité égale à—, l'ordonnée z et la vitesse gQ reprennent

les mêmes valeurs. Donc, la corde exécute une suite de vibrations qui sont égales entre elles et isochrones et dont la durée

est — .

5T9. Quelcfues années après la publication du Mémoire de Dalembert, Euler donna, pour intégrer l'équation (1), une mé- Ihode fort élégante fondée sur un changement très simple des variables indépendantes.

En posant

on a successivement

i)Z 'dZ ^z

Dx Mt ÔU

et de même

i)^Z d^Z çy ()-Z 'dZ^

La substitution de ces valeurs de --- ^ et de -^^i dans l'équation (1) donne

c'est-à-dire

ce qui prouve que - - ne dépend pas de it mais dépend seulement de V. La fonction z est donc de la forme

? (zi) H- 'il (u)

et l'on a finalement

2- =; cp (a; -h aO) 4- 'i [x — a6) ; c'est le résultat déjà trouvé au (n° 575).

Eqiialtoii de Laplace