OO
sin^a? , rsin^^x; i'^ / sin 2x ^ ,
— - dx = -+- 1 ,. - - Mx =
x^ y X \o f ix
DES INTEGRALES DEFINIES
73, Dans les exemples précédents, on a pu effectuer directement les sommations. Quelquefois il est commode de commencer par établir des inégalités qui permettent d'enfermer la somme inconnue entre deux quantités qui ont la même limite. Cherchons par exemple à évaluer
dx
X log a)
Soit toujours 5 = a 4- nli. JNous partirons de l'identité
loff (1
log log {x -h 11) — log log X = log
lOff X
que nous allons combiner avec les inégalités suivantes, dont les deux premières résultent immédiatement des développements en séries des logarithmes,
log (1 + ;::)< ^ < log ^-—
et dont les deux suivantes se déduisent de celles que nous venons d'écrire en remplaçant, dans la première 1 -h s par ^,
et dans la seconde -, par t
^ — 1 > log ^ >
On aura ainsi, en appliquant la première inégalité (9)
los'
log
log X
log ( 1 -H -
loff X
X log a?'
et, en appliquant la deuxième inégalité (10)
lOff
lo- 1
lo.i
log 1 +
log [a: -h h) {oc -\- h) log {x -h h)
On a donc
-, Î3--J -, ^, < log log (x H- 11) — log log X < i .
{x H- 7i) log (a? -4- 7i) ^ ° ^ ' ^ ^ X log X
Remplaçons maintenant dans cette double inégalité x successivement par a, a 4- 7^, a -h 2h..\a -h (w — l)/i et ajoutons ces inégalités membre à membre. Nous trouverons
S — --17--- < Ii>g log b — log log a < S ~
a log a ^ ° '^ & & --- 6 log & '
en posant
a log a (a -t- A) log (a -+-//) " " * b log 6 " La double inégalité précédente peut s'écrire
log log b — log log a -+- g-j— -^ < S < log log & — log log a -+- ^^^ .
Lorsque h tend vers zéro, S tend vers 1 et l'on obtient le résultat cherché :
-^ = log log h — log log a.
73. A cet ordre d'idées se rattache une puissante règle de convergence des séries due à Gauchy, Soit ©(a;) une fonction qui soit constamment positive et décroissante, et qui tende vers zéro^ lorsque x croît à partir d'un certain nombre entier a jusqu'à l'inlîni : la série
cp(l)-+-cf(2)H-... +cp(7l)+... (11)
sera convergente ou divergente suivayit que l'intégrale
/ ^{x)dx (12)
sera finie et déterminée ou non.
BES INTEGRALES DEFINIES 95
En effet, on a, par hypothèse, pour x compris entre n et ?2 h- 1
OU
On aura de même, en remplaçant successivement n par n + 1, ?z -H 2 n -^ p — 1,
cp(n + 1) > / cp(a;)c?rc > cp(/i + 2)
ff{n -h p — 1) > / o(.x)dx >> cp(n + p).
Faisons la somme de ces diverses inégalités et posons, pour abréger
. S,= cp(l) + o(2) + ...-hcp(A;);
il vient
(o(x)dx > S„ + p — S„ (1 3) Laissons n fixe et faisons croître p à l'infini ; supposons de
plus la série (11) convergente. Alors S„ + ^, a une limite S et la première inégalité (13) nous montre que, le premier membre ayant une limite finie, il en est forcément de môme de l'intégrale.
Supposons en second lieu l'intégrale déterminée ; la deuxième inégalité (13) s'écrit
Il en résulte que S„4;; a une limite lorsque/? croît à l'infini. Considérons par exemple la série^ — étudiée tome I n° 1 24.
-— = j— — x^ -^\ est finie
si a >> 1, infinie si a <^ 1. On retrouve ainsi les conditions du 11° 124.
De même la série >, --. (tome I n" 125) est diveri^ente
.LaÀ n log n^ ' ^
--|~- est infinie : pour le voir, il suffit de poser x-=^ e'J. L'intégrale devient
dy r -|=c
De remploi des cliangenienis de varîalUles pour le calcul des intégrales définies
74. Un autre procédé d'intégration consiste à obtenir par diverses transformations une égalité où ne figure que l'intégrale à calculer. En voici des exemples.
DES INTEGRALES DEFINIES 97
Soit à évaluer l'intégrale déjà obtenue au n° 68
I = / log si h ivdcG.
Nous ferons d'abord le changement de variables
il en résulte
I = — / iog cos ydij = I log cos i/dij.
«y Tt «y 0
On en déduit
2\ = I log sin œdx -h 1 Iog cos o-c^a? = / logsin a7cosa7(ia;
/ log si n
*i sin '^a; 1 /^^ / *^
log — ^^ d:e =^ ^^ I log sin 2cc.2d.v — / \og2dx
OU encore, en posant dans le second membre 2œ = z,
2l = 5 / log sin zdz — ^ log 2. Mais on a évidemment
log sin ^c?^ = 2 / log sin ^c?^ = 2l. (14)
Calcul infinitésimal 7
On a donc enfin l'égalité chercliée
d'où l'on lire
2T = I - ^ log 2
21 = 1-2 log 2. (13)
Du résultat pre'cédent s'en de'duit facilement un nouveau. L'identité,
x^ log sin X dx =^ \ {r^ — xy log sin x dx,
qui est évidente si l'on remplace œ par t. — y dans le premier membre, se réduit, après le développement de (-rr — .a?)^ à
TC I log sin X dx = 2 I x log sin x dx.
Le premier membre vient d'être calculé (formules 14 et 15) ; on a donc
X log sin X dx =^ — -^ log 2.
