IS
où 'h [y) désigne une fonction arbitraire de y.
On a de même, en intégrant (12) par rapport à y,
dy
e""^ z^dij ~\- ^ {x) I où '^{x) représente une fonction arbitraire de x.
En substituant dans cette expression (16) l'expression (15) de ^1, on obtiendra pour l'intégrale z l'expression
cp (a^) -h e P - Q j ^ (y) -t- I e^tdx >
où P et Q désignent respectivement / ddy et / ^dx et qui
renferme une fonction arbitraire de x et une fonction arbitraire de y.
Supposons maintenant A différent de zéro. L'équation (14) s'écrit
et, en formant —, puis portant z et - dans (12), on obtient,
if J
pour déterminer z^ l'équation
où a,, Pj, Yi, £j, ont les valeurs suivantes
1 ôA
'Aôy
p ôA
£ ôA
Aôy
H- ae
L'équation (18) est de même forme que la proposée (11) ; on
la traitera de la même manière.
Des considérations qui précèdent résulte cette proposition : Suivant que A est nul ou est différent de zéro, V équation
(11) s'intègre ou se ramène à une autre de même type.
En permutant, dans 1 équation (11), ^ et a avec y et P, puis posant
on peut dire encore : suivant que B est nul ou différent de zéro, r équation (11) sHntègre ou se ramène à une autre du même type.
Depuis Laplace, l'équation (11) a été l'objet de remarquables travaux parmi lesquels il faut citer principalement ceux de Moutard (Journal de F Ecole Polytechnique) et ceux de M. \)diVhouji [Leçons sur la théorie générale des sur faces). Mais l'exposition de ces recherches, importantes surtout au point de vue théorique, nous entraînerait trop loin.
^ 581. Soit l'équation
Ar -h 2 Bs -+- Ci -+- Dj3 -I- Eg -H F^ + G = 0
oùAjB, C, D, E, F, G sont des fonctions quelconques des deux variables indépendantes x et y. Euler avait prouvé qu'on pouvait, par un changement de variables, lorsque B^ — AC était différent de zéro, amener l'équation précédente à la forme
Il suffit, en effet, de prendre, pour nouvelles variables u o^iv^ deux fonctions de x et de y satisfaisant respectivement aux deux relations
dans lesquelles mj et m^ désignent les racines de l'équation
Am^ — 2Bm-+-C = 0.
On voit de la sorte comment Làplace a été conduit à considérer l'équation (11).
Equation de Lioiivîlle
582. Dans ses études sur la théorie des surfaces, Liouville a rencontré l'équation remarquable
Ut î>v 2 adont l'intégrale générale est
f'{u) et y (y) désignant respectivement les dérivées des deux fonctions arbitraires cp(t«) et <]^(i').
Ce grand géomètre n'a pas indiqué les considérations qui l'avaient amené à trouver cette intégrale. Comme cette recherche est un peu compliquée (voir Jordan, Cours d'Â?ia~ ly se), nous nous bornerons comme Liouville à vérifier le fait.
En prenant les logarithmes dans la relation (20), on obtient
log X = log (4 a-) -+- log cp' (u) -+- log >]/' {v) -h'i(u)-hà (r) - 2 log [1 -h e^ ^""^ + ^ ^%
d'où
et
On a donc
,cp (iO + tj; (V)
ôMog X 2 e^ ^^) + ^ <^^) cp^ (^0 ^^ (v) Uiiv "+" 1 + g? (u) + 4' (î^)
et enfin, à cause de (20),
^' log ^ -h Jl = 0 (*)
Méthode de Monge
583. Le type général des équations aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes œ ei i/ est
OÙ l'on désigne, suivant l'usage,, respectivement par
la fonction inconnue et ses dérivées partielles
hZ ^Z ^^Z ^^Z b'-g
584, On nomme intégrale intermédiaire de l'équation proposée (21) toute équation aux dérivées partielles du premier ordre
dont la proposée est une conséquence. D'une telle intégrale intermédiaire (22), si elle existe, on déduit ensuite l'intégrale générale de (21) par les méthodes exposées dans le chapitre précédent. Tout revient donc à la recherche des intégrales intermédiaires.
(*) Si l'on pose
log'K = z, (f (w) = log (— ^V 'l^{v) = logY,
l'équation de Liouville prend la forme
Ou ï)v 2 «2
et son intégrale s'écrit
, 4ffl2U'V' * ~ ^U ± V)2 •
